kaoyan1advanced 高等数学 第126题
📝 题目
### 第126题
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=2$ 处条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1}(x-1)^{n}$ 在 $\displaystyle x=\frac{5}{2}$ 处 （A）绝对收敛． （B）条件收敛． （C）必发散． （D）敛散性由 $\left\{a_{n}\right\}$ 确定．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\sum a_n x^n$在$x=2$处条件收敛，则收敛半径$R=2$，且$x=2$为端点。 步骤2：$\displaystyle \sum \frac{a_n}{n+1}(x-1)^n$的收敛半径仍为$R=2$，中心在$x=1$，故收敛区间为$(-1,3)$。 步骤3：$\displaystyle x=\frac{5}{2}=2.5$，在收敛区间内，故绝对收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定原级数的收敛半径
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=2$ 处条件收敛，根据幂级数收敛半径的性质，条件收敛点必为收敛区间的端点。因此，收敛半径 $R=2$，且 $x=2$ 是收敛区间的一个端点。
提示：条件收敛点必为收敛区间端点
步骤 2/6
目标：分析新级数的收敛半径
考虑新级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-1)^n$。由于系数 $\frac{a_n}{n+1}$ 与 $a_n$ 相比，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n+1} \to 0$，不影响收敛半径。因此，新级数的收敛半径仍为 $R=2$，且收敛中心为 $x=1$。
提示：系数乘以趋于0的因子不影响收敛半径
步骤 3/6
目标：确定新级数的收敛区间
由收敛半径 $R=2$ 和中心 $x=1$，可得收敛区间为 $(1-2, 1+2) = (-1, 3)$。端点 $x=-1$ 和 $x=3$ 处的敛散性需单独判断，但本题不涉及。
公式：$$R=2, \text{收敛区间}: (1-R, 1+R)=(-1,3)$$
提示：收敛区间由半径和中心确定，端点需单独判断
步骤 4/6
目标：判断给定点的位置
给定点 $x = \frac{5}{2} = 2.5$，显然 $2.5 \in (-1, 3)$，即位于收敛区间内部。
提示：注意条件收敛点与收敛区间端点的关系
步骤 5/6
目标：确定给定点处的敛散性
根据幂级数性质，在收敛区间内部，幂级数绝对收敛。因此，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-1)^n$ 在 $x=\frac{5}{2}$ 处绝对收敛。
提示：注意条件收敛点位于收敛区间端点
步骤 6/6
目标：答案
故选 (A) 绝对收敛。
提示：条件收敛点确定收敛半径
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