kaoyan1advanced 高等数学 第120题
📝 题目
### 第120题
若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}+a_{n}}{2}$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right)$ 发散，则级数 （A）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛。 （B）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛。 （C）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （D）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：设$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}+a_n}{2}$收敛，即$\displaystyle \frac{1}{2}(a_1+2a_2+2a_3+\cdots)$的部分和收敛，可推出$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。 步骤2：$\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n-1}+a_{n+1})$发散，其中$a_0$可视为0，则其部分和为$\sum_{k=1}^n (a_{k-1}+a_{k+1}) = a_0+a_1 + a_1+a_2 + \cdots + a_{n-1}+a_{n+1} = a_0 + 2(a_1+\cdots+a_{n-1}) + a_n + a_{n+1}$，发散意味着$\sum a_n$发散。 步骤3：若$\sum a_n$收敛，则$\sum (a_{n-1}+a_{n+1})$收敛，矛盾，故$\sum a_n$发散。 **难度**：★★★☆☆