kaoyan1advanced 高等数学 第119题
📝 题目
### 第119题
曲面积分 $\iint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 在数值上等于 （A）面密度为 $z^{2}$ 的曲面 $\Sigma$ 的质量． （B）向量 $z^{2} i$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量． （C）向量 $z^{2} j$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量． （D）向量 $z^{2} k$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：曲面积分$\iint_{\Sigma}z^2 dxdy$表示向量场$\vec{F}=(0,0,z^2)$穿过曲面$\Sigma$的流量，因为流量公式为$\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S}$，其中$d\vec{S}=(dydz, dzdx, dxdy)$，故$\vec{F}\cdot d\vec{S}=z^2 dxdy$。 步骤2：选项A为质量，应为$\iint_{\Sigma}z^2 dS$；选项B为向量$z^2 i$，对应$z^2 dydz$；选项C为$z^2 j$，对应$z^2 dzdx$；选项D为$z^2 k$，对应$z^2 dxdy$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解曲面积分的物理意义
曲面积分 $\iint_{\Sigma} z^2 \, dxdy$ 是第二类曲面积分，其被积表达式为 $z^2 \, dxdy$。第二类曲面积分 $\iint_{\Sigma} P \, dydz + Q \, dzdx + R \, dxdy$ 表示向量场 $\vec{F} = (P, Q, R)$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量。这里只有 $dxdy$ 项，因此 $P = 0, Q = 0, R = z^2$，即向量场为 $\vec{F} = (0, 0, z^2)$。
提示：注意第二类曲面积分的物理意义是流量
步骤 2/4
目标：写出流量公式并对应选项
流量公式为 $\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S}$，其中 $d\vec{S} = (dydz, dzdx, dxdy)$。对于 $\vec{F} = (0, 0, z^2)$，有 $\vec{F} \cdot d\vec{S} = 0 \cdot dydz + 0 \cdot dzdx + z^2 \cdot dxdy = z^2 \, dxdy$。因此该积分表示向量 $z^2 \vec{k}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量。
公式：$$\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_{\Sigma} (0,0,z^2) \cdot (dydz, dzdx, dxdy) = \iint_{\Sigma} z^2 \, dxdy$$
提示：注意流量公式中dS的方向分量对应关系
步骤 3/4
目标：分析各选项
选项A：面密度为 $z^2$ 的曲面 $\Sigma$ 的质量应为第一类曲面积分 $\iint_{\Sigma} z^2 \, dS$，与题目不符。
选项B：向量 $z^2 \vec{i}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量对应 $\iint_{\Sigma} z^2 \, dydz$。
选项C：向量 $z^2 \vec{j}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量对应 $\iint_{\Sigma} z^2 \, dzdx$。
选项D：向量 $z^2 \vec{k}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量对应 $\iint_{\Sigma} z^2 \, dxdy$，与题目一致。
提示：区分两类曲面积分，注意投影方向
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，曲面积分 $\iint_{\Sigma} z^2 \, dxdy$ 在数值上等于向量 $z^2 \vec{k}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量，对应选项D。
提示：注意流量与通量的对应关系
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