kaoyan1advanced 高等数学 第118题
📝 题目
### 第118题
设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则 （A） $\iiint_{\Omega_{1}} x^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x^{3} \mathrm{~d} v$ ． （B） $\iiint_{\Omega_{1}} y^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y^{3} \mathrm{~d} v$ ． （C） $\iiint_{\Omega_{1}} z^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z^{3} \mathrm{~d} v$ ． （D） $\iiint_{\Omega_{1}} x^{3} y^{3} z^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x^{3} y^{3} z^{3} \mathrm{~d} v$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\Omega_1$为上半球体，$\Omega_2$为第一卦限的八分之一球体。 步骤2：对于(A)，$x^3$为$x$的奇函数，$\Omega_1$关于$yOz$平面对称，故$\iiint_{\Omega_1}x^3dv=0$，而$\iiint_{\Omega_2}x^3dv>0$，故等式不成立。 步骤3：对于(B)，同理$y^3$为奇函数，$\iiint_{\Omega_1}y^3dv=0$，$\iiint_{\Omega_2}y^3dv>0$，不成立。 步骤4：对于(C)，$z^3$为$z$的偶函数？$z\ge0$，$\Omega_1$中$z\ge0$，$\Omega_2$中$z\ge0$，由对称性，$\Omega_1$可分成8个卦限，每个卦限中$z^3$相同，故$\iiint_{\Omega_1}z^3dv = 8\iiint_{\Omega_2}z^3dv$，但选项为$4\iiint_{\Omega_2}z^3dv$，故错误。实际上，$\Omega_1$是上半球，$\Omega_2$是第一卦限，上半球包含四个卦限（$x,y$可正可负），故$\iiint_{\Omega_1}z^3dv = 4\iiint_{\Omega_2}z^3dv$，因为$z^3$与$x,y$符号无关，且区域对称。故C正确。 步骤5：对于(D)，$x^3y^3z^3$中$x^3$和$y^3$为奇函数，在$\Omega_1$上积分为0，而$\Omega_2$上非零，故不成立。 **难度**：★★☆☆☆