kaoyan1advanced 高等数学 第117题
📝 题目
### 第117题
设空间区域 $\Omega$ 由曲面 $z=a^{2}-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $z=0$ 所围成，其中 $a$ 为正常数．记 $\Omega$表面的外侧为 $\Sigma, \Omega$ 的体积为 $V$ ，则 $\oiint_{\Sigma} x^{2} y z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x y^{2} z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z(1+x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）0． （B）$\displaystyle \frac{V}{2}$ ． （C）$V$ ． （D） $2 V$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由高斯公式，$\displaystyle \oiint_{\Sigma} x^2yz^2 dy dz - xy^2z^2 dz dx + z(1+xyz) dx dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^2yz^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-xy^2z^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z(1+xyz)) \right) dv$。 步骤2：计算偏导：$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x^2yz^2)=2xyz^2$，$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-xy^2z^2)=-2xyz^2$，$\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(z(1+xyz))=1+2xyz$。 步骤3：散度和为$2xyz^2 - 2xyz^2 + 1+2xyz = 1+2xyz$。 步骤4：积分$\iiint_{\Omega} (1+2xyz) dv = \iiint_{\Omega} 1 dv + 2\iiint_{\Omega} xyz dv = V + 0$，因为$xyz$为奇函数，区域关于$x=0$对称？但$\Omega$由$z=a^2-x^2-y^2$与$z=0$围成，关于$x=0$和$y=0$对称，$xyz$为奇函数，积分为0。故结果为$V$。 **难度**：★★★☆☆