kaoyan1advanced 高等数学 第41题
📝 题目
### 第41题
D$ 是由直线 $y=x, y=\pi, x=0$ 所围成的平面区域，则二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin x}{\pi-x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．$
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=x, y=\pi, x=0$围成，即$0\leq x\leq \pi$，$x\leq y\leq \pi$。 步骤2：二重积分$\displaystyle \iint_D \frac{\sin x}{\pi-x}dxdy=\int_0^\pi dx\int_x^\pi \frac{\sin x}{\pi-x}dy=\int_0^\pi \frac{\sin x}{\pi-x}(\pi-x)dx=\int_0^\pi \sin x dx=2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域
区域 $D$ 由直线 $y=x$, $y=\pi$, $x=0$ 围成，在 $x$ 轴方向，$x$ 从 $0$ 到 $\pi$；在 $y$ 轴方向，对于每个固定的 $x$，$y$ 从 $x$ 到 $\pi$。因此 $D=\{(x,y) \mid 0 \leq x \leq \pi,\; x \leq y \leq \pi\}$。
提示：注意积分限的确定，x从0到π，y从x到π
步骤 2/6
目标：化为累次积分
二重积分 $\iint_D \frac{\sin x}{\pi-x} \, dxdy = \int_0^\pi dx \int_x^\pi \frac{\sin x}{\pi-x} \, dy$。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy$$
提示：注意积分限的对应关系
步骤 3/6
目标：先对 $y$ 积分
内层积分中，$\frac{\sin x}{\pi-x}$ 与 $y$ 无关，故 $\int_x^\pi \frac{\sin x}{\pi-x} \, dy = \frac{\sin x}{\pi-x} \cdot (\pi - x) = \sin x$。
公式：$$\int_x^\pi \frac{\sin x}{\pi-x} \, dy = \frac{\sin x}{\pi-x} \cdot (\pi - x) = \sin x$$
提示：注意常数因子可提出积分号
步骤 4/6
目标：再对 $x$ 积分
外层积分为 $\int_0^\pi \sin x \, dx$。
提示：注意积分限和变量替换
步骤 5/6
目标：计算定积分
$\int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$。
公式：$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
提示：注意符号变化，cosπ=-1，cos0=1
步骤 6/6
目标：得出答案
因此，二重积分 $\iint_D \frac{\sin x}{\pi-x} \, dxdy = 2$。
提示：注意积分区域边界和积分次序
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