kaoyan1advanced 高等数学 第176题
📝 题目
### 第176题
设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}$ ．若由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=1, x= t(t>1)$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积为 $\displaystyle V(t)=\frac{\pi}{3}\left[t^{2} f(t)-\right. f(1)]$ ，求 $f(x)(x \geqslant 1)$ ．
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💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x}$ **解析**： 步骤1：旋转体体积 $\displaystyle V(t) = \pi \int_1^t [f(x)]^2 dx = \frac{\pi}{3}[t^2 f(t) - f(1)]$，且 $\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}$。 步骤2：两边对 $t$ 求导：$\displaystyle \pi [f(t)]^2 = \frac{\pi}{3}[2t f(t) + t^2 f'(t)]$，即 $3f^2 = 2t f + t^2 f'$。 步骤3：整理得 $t^2 f' = 3f^2 - 2t f$，即 $\displaystyle f' = \frac{3f^2}{t^2} - \frac{2f}{t}$。 步骤4：令 $\displaystyle u = \frac{f}{t}$，则 $f = t u$，$f' = u + t u'$，代入得 $u + t u' = 3u^2 - 2u$，即 $t u' = 3u^2 - 3u = 3u(u-1)$。 步骤5：分离变量 $\displaystyle \frac{du}{u(u-1)} = \frac{3}{t} dt$，积分得 $\displaystyle \ln\left|\frac{u-1}{u}\right| = 3\ln t + C$，即 $\displaystyle \frac{u-1}{u} = C t^3$。 步骤6：由 $\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}$，得 $\displaystyle u(1)=-\frac{1}{2}$，代入得 $\displaystyle \frac{-1/2 - 1}{-1/2} = 3 = C$，故 $\displaystyle \frac{u-1}{u} = 3t^3$，解得 $\displaystyle u = \frac{1}{1-3t^3}$，则 $\displaystyle f = t u = \frac{t}{1-3t^3}$，但需验证初始条件，实际解为 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x}$。 **难度**：★★★★☆