kaoyan1advanced 高等数学 第46题
📝 题目
### 第46题
有一金属丝呈半圆形 $L:\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=a \sin t\end{array}(0 \leqslant t \leqslant \pi)\right.$ ，其上每一点的密度都等于该点的纵坐标，则该金属丝的质量为 $\_\_\_\_$ ． 建衩答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$2a^2$ **解析**： 步骤1：半圆$L: x=a\cos t, y=a\sin t, 0\leq t\leq\pi$，密度$\rho=y=a\sin t$。 步骤2：质量$M=\int_L \rho ds=\int_0^\pi a\sin t \cdot \sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2} dt=\int_0^\pi a\sin t \cdot a dt=a^2\int_0^\pi \sin t dt=a^2\cdot 2=2a^2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立曲线参数方程与密度函数
半圆形金属丝参数方程为 $L: \begin{cases} x = a \cos t \\ y = a \sin t \end{cases}$，$0 \leq t \leq \pi$。每点密度等于该点纵坐标，故密度函数 $\rho = y = a \sin t$。
提示：注意参数t的范围是0到π
步骤 2/5
目标：计算弧长微元
弧长微元 $ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} \, dt = \sqrt{(-a \sin t)^2 + (a \cos t)^2} \, dt = \sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t)} \, dt = a \, dt$。
公式：$$ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} \, dt$$
提示：注意参数方程求导和三角恒等式化简
步骤 3/5
目标：建立质量积分表达式
质量 $M = \int_L \rho \, ds = \int_0^\pi (a \sin t) \cdot a \, dt = a^2 \int_0^\pi \sin t \, dt$。
公式：$$M = \int_L \rho \, ds$$
提示：注意弧长微元ds的表达式
步骤 4/5
目标：计算定积分
$\int_0^\pi \sin t \, dt = [-\cos t]_0^\pi = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$。
公式：$$\int \sin t \, dt = -\cos t + C$$
提示：注意积分上下限代入顺序
步骤 5/5
目标：得出最终质量
因此 $M = a^2 \times 2 = 2a^2$。
公式：$$M = \int_L \rho \, ds$$
提示：注意积分上下限和弧长公式
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