kaoyan1advanced 高等数学 第39题
📝 题目
### 第39题
函数 $z=x^{2}+y^{2}-x y$ 在区域 $|x|+|y| \leqslant 1$ 上的最大值为 $\_\_\_\_$。建议荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：区域$|x|+|y|\leq1$为菱形，顶点$(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$。 步骤2：函数$z=x^2+y^2-xy$在闭区域上连续，最值在边界或内部驻点取得。 步骤3：内部驻点：$z_x=2x-y=0$，$z_y=2y-x=0$，解得$x=y=0$，$z(0,0)=0$。 步骤4：边界分段：例如第一象限$x+y=1$，$x,y\geq0$，代入得$z=x^2+(1-x)^2-x(1-x)=3x^2-3x+1$，对称轴$x=1/2$，$z=3/4$；端点$x=0$时$z=1$，$x=1$时$z=1$。其他象限类似，最大值在顶点处为$1$。 步骤5：比较得最大值为$1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定区域与函数连续性
区域 $|x|+|y| \leq 1$ 是一个菱形（正方形旋转45°），顶点为 $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$。函数 $z = x^2 + y^2 - xy$ 在闭区域上连续，因此最值必在边界或内部驻点处取得。
提示：注意菱形边界需分段处理
步骤 2/5
目标：求内部驻点
计算偏导数：$z_x = 2x - y = 0$，$z_y = 2y - x = 0$。解方程组得 $x = 0, y = 0$，代入得 $z(0,0) = 0$。
公式：$$z_x = 2x - y = 0, z_y = 2y - x = 0$$
提示：注意驻点求解时方程组的正确解法
步骤 3/5
目标：边界分段讨论（第一象限）
在第一象限，边界为 $x + y = 1$，$x, y \geq 0$。代入 $y = 1 - x$，得 $z = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) = 3x^2 - 3x + 1$。对称轴 $x = \frac{1}{2}$，此时 $z = \frac{3}{4}$；端点 $x=0$ 时 $z=1$，$x=1$ 时 $z=1$。
公式：$$z = 3x^2 - 3x + 1$$
提示：注意对称轴位置和端点值比较
步骤 4/5
目标：其他象限对称性分析
由对称性，其他象限（$x-y=1$，$-x+y=1$，$-x-y=1$）类似，代入后均为二次函数，最大值在顶点处取得，值为 $1$。
提示：注意对称性简化计算
步骤 5/5
目标：比较得最大值
内部驻点值为 $0$，边界上最大值为 $1$（在顶点处），因此最大值为 $1$。
提示：注意边界顶点处的值可能最大
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。