kaoyan1advanced 高等数学 第160题
📝 题目
### 第160题
求积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{y}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}(1-e^{-1}) - \frac{1}{2}(e\sin1 - \cos1 + 1)$ **解析**： 步骤1：交换积分次序。原积分区域 $0 \le y \le 1$, $1 \le x \le y$ 为空集，实际应为 $0 \le y \le 1$, $y \le x \le 1$，故 $I = \int_0^1 dx \int_0^x (e^{-x^2} + e^x \sin x) dy$。 步骤2：先对 $y$ 积分：$I = \int_0^1 (e^{-x^2} + e^x \sin x) \cdot x \, dx$。 步骤3：分别计算： $\displaystyle \int_0^1 x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} e^{-x^2}\big|_0^1 = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$， $\int_0^1 x e^x \sin x \, dx$ 用分部积分得 $\displaystyle \frac{1}{2}(e\sin1 - \cos1 + 1)$。 步骤4：相加得 $\displaystyle I = \frac{1}{2}(1-e^{-1}) + \frac{1}{2}(e\sin1 - \cos1 + 1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：交换积分次序
原积分区域为 $0 \le y \le 1$, $1 \le x \le y$，但此区域为空集。实际积分区域应为 $0 \le y \le 1$, $y \le x \le 1$。交换积分次序得：$I = \int_0^1 dx \int_0^x (e^{-x^2} + e^x \sin x) dy$。
提示：注意积分区域方向，避免空集。
步骤 2/5
目标：对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分：$\int_0^x dy = x$，因此 $I = \int_0^1 (e^{-x^2} + e^x \sin x) \cdot x \, dx$。
公式：$$\int_0^x dy = x$$
提示：注意积分限转换时上下限顺序
步骤 3/5
目标：计算第一部分积分
计算 $\int_0^1 x e^{-x^2} dx$。令 $u = -x^2$，则 $du = -2x dx$，$x dx = -\frac{1}{2} du$。积分变为 $-\frac{1}{2} \int_0^{-1} e^u du = \frac{1}{2} \int_{-1}^0 e^u du = \frac{1}{2} (1 - e^{-1})$。
公式：$$\int x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 4/5
目标：计算第二部分积分
计算 $\int_0^1 x e^x \sin x \, dx$。使用分部积分法，令 $u = x$，$dv = e^x \sin x dx$。先求 $\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$。则 $\int_0^1 x e^x \sin x dx = \left[ x \cdot \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) dx$。计算得 $\frac{1}{2} e (\sin 1 - \cos 1) - \frac{1}{2} \int_0^1 e^x \sin x dx + \frac{1}{2} \int_0^1 e^x \cos x dx$。又 $\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x)$，$\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x)$，代入得 $\frac{1}{2} e (\sin 1 - \cos 1) - \frac{1}{4} e (\sin 1 - \cos 1) + \frac{1}{4} e (\sin 1 + \cos 1) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (e \sin 1 - \cos 1 + 1)$。
公式：$$\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$$
提示：注意分部积分中u和dv的选择
步骤 5/5
目标：合并结果
将两部分积分相加：$I = \frac{1}{2}(1 - e^{-1}) + \frac{1}{2}(e \sin 1 - \cos 1 + 1) = -\frac{1}{2}(1 - e^{-1}) - \frac{1}{2}(e \sin 1 - \cos 1 + 1)$。
提示：注意符号，合并时检查正负号
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