kaoyan1advanced 高等数学 第69题
📝 题目
### 第69题
设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\arctan \frac{x+1}{x-1}+a, & x>1, \\ c, & x=1 \\ \arctan \frac{x+1}{x-1}+b, & x<1\end{array}\right.$ ，可导，则 $f^{\prime}(1)=$ （A）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C） 1 ． （D）与 $a, b$ 的值有关．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：函数在$x=1$处可导，则必连续。计算左右极限：$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\arctan\frac{x+1}{x-1}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \lim_{x\to1^-}\arctan\frac{x+1}{x-1}=-\frac{\pi}{2}$。由连续性得$\displaystyle \frac{\pi}{2}+a=c=-\frac{\pi}{2}+b$，故$a-b=-\pi$，$c$任意。 步骤2：计算导数。左导数$\displaystyle f'_-(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{\arctan\frac{x+1}{x-1}+b-c}{x-1}$，右导数类似。利用导数定义，可导时左右导数相等。计算得$\displaystyle f'(1)=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用可导性推出连续性，求左右极限
函数在 $x=1$ 处可导，则必连续。计算左极限：$\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\arctan\frac{x+1}{x-1} = \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}$；右极限：$\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\arctan\frac{x+1}{x-1} = \arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$。由连续性得：$\displaystyle \frac{\pi}{2}+a = c = -\frac{\pi}{2}+b$，因此 $a-b = -\pi$，$c$ 可任意取值。
提示：注意arctan(±∞)的取值
步骤 2/5
目标：写出左导数的定义式
左导数：$\displaystyle f'_-(1) = \lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x\to 1^-}\frac{\arctan\frac{x+1}{x-1}+b-c}{x-1}$。代入 $c = -\frac{\pi}{2}+b$，得 $\displaystyle f'_-(1) = \lim_{x\to 1^-}\frac{\arctan\frac{x+1}{x-1}+b-\left(-\frac{\pi}{2}+b\right)}{x-1} = \lim_{x\to 1^-}\frac{\arctan\frac{x+1}{x-1}+\frac{\pi}{2}}{x-1}$。
公式：$$f'_-(1) = \lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$
提示：注意左导数定义中x趋近方向
步骤 3/5
目标：计算左导数极限
令 $t = x-1$，则 $x\to 1^-$ 时 $t\to 0^-$，$\frac{x+1}{x-1} = \frac{t+2}{t} = 1+\frac{2}{t}$。于是 $\displaystyle \arctan\left(1+\frac{2}{t}\right) \to -\frac{\pi}{2}$。利用等价无穷小：$\arctan u + \frac{\pi}{2} \sim -\frac{1}{u}$（当 $u\to -\infty$），这里 $u = 1+\frac{2}{t}$，则 $\displaystyle \arctan\left(1+\frac{2}{t}\right)+\frac{\pi}{2} \sim -\frac{1}{1+\frac{2}{t}} = -\frac{t}{t+2}$。因此 $\displaystyle f'_-(1) = \lim_{t\to 0^-}\frac{-\frac{t}{t+2}}{t} = \lim_{t\to 0^-}\frac{-1}{t+2} = -\frac{1}{2}$。
提示：注意左导数定义中分母为负增量
步骤 4/5
目标：计算右导数并验证相等
右导数：$\displaystyle f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+}\frac{\arctan\frac{x+1}{x-1}+a-c}{x-1}$。代入 $c = \frac{\pi}{2}+a$，得 $\displaystyle f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+}\frac{\arctan\frac{x+1}{x-1}-\frac{\pi}{2}}{x-1}$。令 $t = x-1\to 0^+$，$\frac{x+1}{x-1} = 1+\frac{2}{t}\to +\infty$，$\arctan\left(1+\frac{2}{t}\right)-\frac{\pi}{2} \sim -\frac{1}{1+\frac{2}{t}} = -\frac{t}{t+2}$，同样得 $\displaystyle f'_+(1) = \lim_{t\to 0^+}\frac{-\frac{t}{t+2}}{t} = -\frac{1}{2}$。左右导数相等，故 $f'(1) = -\frac{1}{2}$。
公式：$$f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+}\frac{\arctan\frac{x+1}{x-1}-\frac{\pi}{2}}{x-1}$$
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此 $f'(1) = -\frac{1}{2}$，对应选项 A。
提示：注意分段函数在分段点处的导数定义
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