kaoyan1advanced 高等数学 第153题
📝 题目
### 第153题
设 $z=f(x, y)$ 有连续偏导数，证明：存在可微函数 $g(u)$ ，使得 $f(x, y)=g(a x+ b y)(a b \neq 0)$ 的充要条件是 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle b \frac{\partial z}{\partial x}=a \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 簦题区域
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💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：必要性：若 $f(x,y)=g(ax+by)$，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=a g'$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=b g'$，故 $\displaystyle b\frac{\partial z}{\partial x}=ab g' = a\frac{\partial z}{\partial y}$。 步骤2：充分性：由 $\displaystyle b\frac{\partial z}{\partial x}=a\frac{\partial z}{\partial y}$，特征方程为 $\displaystyle \frac{dx}{b}=\frac{dy}{-a}$，得 $ax+by=C$。作变换 $u=ax+by$，$v$ 任意，则 $z$ 仅为 $u$ 的函数，即 $z=g(u)$，且 $g$ 可微。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：必要性证明
若存在可微函数 $g(u)$ 使得 $f(x, y) = g(ax + by)$，则令 $u = ax + by$，对 $x$ 和 $y$ 求偏导：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = g'(u) \cdot a = a g'(u), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = g'(u) \cdot b = b g'(u).$$ 代入 $b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$ 得：
$$b \cdot a g'(u) = a \cdot b g'(u) \quad \Rightarrow \quad ab g'(u) = ab g'(u),$$ 等式恒成立，故必要性成立。
公式：$$b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$$
提示：注意偏导链式法则的应用
步骤 2/5
目标：步骤2：充分性条件转化
已知 $b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$，且 $ab \neq 0$。考虑一阶线性偏微分方程的特征方程：
$$\frac{dx}{b} = \frac{dy}{-a}.$$ 解此微分方程得 $ax + by = C$（常数），即特征线为直线族。
公式：$$\frac{dx}{b} = \frac{dy}{-a}$$
提示：特征方程求解时注意符号
步骤 3/5
目标：步骤3：变量代换
作变量代换：令 $u = ax + by$，并选取另一个与 $u$ 独立的变量 $v$（例如 $v = x$ 或 $v = y$）。则原方程化为关于 $u$ 和 $v$ 的偏微分方程。由链式法则：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot a + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot b + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}.$$ 代入条件 $b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$ 并化简，可得 $\frac{\partial z}{\partial v} = 0$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot a + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot b + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$$
提示：注意v的选择需与u独立
步骤 4/5
目标：步骤4：推导 $z$ 仅依赖于 $u$
由 $\frac{\partial z}{\partial v} = 0$ 可知，$z$ 与 $v$ 无关，即 $z$ 仅为 $u$ 的函数。因此存在函数 $g$ 使得 $z = f(x, y) = g(u) = g(ax + by)$。由于 $f$ 有连续偏导数，$g$ 可微。充分性得证。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial v} = 0 \Rightarrow z = g(u)$$
提示：注意偏导数为0意味着函数与变量无关
步骤 5/5
目标：步骤5：结论
综上，$f(x, y) = g(ax + by)$ 的充要条件是 $b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$。
公式：$$b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}$$
提示：注意充要条件的双向推导
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