kaoyan1advanced 高等数学 第152题
📝 题目
### 第152题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 证明：若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：$g(0,0)=0$，$dg(0,0)=0$，故 $g(x,y)=o(\sqrt{x^2+y^2})$。 步骤2：$\displaystyle f(x,y)=g(x,y)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$f(0,0)=0$。考虑增量 $\displaystyle \Delta f = f(x,y)-f(0,0) = g(x,y)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$。 步骤3：$|\Delta f| \le |g(x,y)| = o(\sqrt{x^2+y^2})$，故 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{|\Delta f|}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$。 步骤4：因此 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，且全微分为 $0$，即 $df(0,0)=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：步骤1：利用可微条件得到g(x,y)的阶
由条件 $g(0,0)=0$ 且 $\mathrm{d}g(0,0)=0$，根据可微的定义，$g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的全增量可表示为 $g(x,y)-g(0,0)=g(x,y)=0\cdot x+0\cdot y+o(\sqrt{x^2+y^2})$，即 $g(x,y)=o(\sqrt{x^2+y^2})$。
公式：$$g(x,y)=o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意可微定义中高阶无穷小的阶数
步骤 2/4
目标：步骤2：写出f(x,y)的增量表达式
由 $f(x,y)$ 的定义，当 $x^2+y^2 \neq 0$ 时，$f(x,y)=g(x,y)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$，且 $f(0,0)=0$。因此，$f$ 在 $(0,0)$ 处的全增量为 $\Delta f = f(x,y)-f(0,0) = g(x,y)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$。
公式：$$\Delta f = f(x,y)-f(0,0) = g(x,y)\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$
提示：注意全增量定义：f(x,y)-f(0,0)
步骤 3/4
目标：步骤3：估计增量绝对值并取极限
由于 $\left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \leq 1$，故 $|\Delta f| \leq |g(x,y)| = o(\sqrt{x^2+y^2})$。于是 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{|\Delta f|}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$。
公式：$$\left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \leq 1$$
提示：注意无穷小量的阶数比较
步骤 4/4
目标：步骤4：根据可微定义得出结论
由可微的定义，$f$ 在 $(0,0)$ 处可微当且仅当存在常数 $A,B$ 使得 $\Delta f = A x + B y + o(\sqrt{x^2+y^2})$。这里 $\Delta f = 0\cdot x + 0\cdot y + o(\sqrt{x^2+y^2})$，因此 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d}f(0,0)=0$。
公式：$$\Delta f = A x + B y + o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意验证全微分定义中的高阶无穷小
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