kaoyan1advanced 高等数学 第25题
📝 题目
### 第25题
已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t}{x^{\alpha}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，则 $\alpha$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\alpha \geq 1$ **解析**： 步骤1：$x\to 0^+$时，$\displaystyle \int_0^x |\sin t|dt \sim \frac{1}{2}x^2$，则$\displaystyle f(x)\sim \frac{1}{2}x^{2-\alpha}$，有界需$2-\alpha \geq 0$即$\alpha \leq 2$。 步骤2：$x\to +\infty$时，$\int_0^x |\sin t|dt$有界（周期函数积分有界），则$\displaystyle f(x)\sim \frac{\text{有界}}{x^\alpha}$，有界需$\alpha \geq 0$。综合得$\alpha \in [0,2]$，但题目要求$(0,+\infty)$上有界，需$\alpha \geq 1$（因$\alpha<1$时$x\to 0^+$无界）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析x→0⁺时的渐近行为
当$x\to 0^+$时，$|\sin t| \sim t$，因此$\int_0^x |\sin t|\,dt \sim \int_0^x t\,dt = \frac{1}{2}x^2$。于是$f(x) \sim \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^\alpha} = \frac{1}{2}x^{2-\alpha}$。要使$f(x)$在$x\to 0^+$时有界，需$2-\alpha \geq 0$，即$\alpha \leq 2$。
公式：$$\int_0^x |\sin t|\,dt \sim \int_0^x t\,dt = \frac{1}{2}x^2$$
提示：注意等价无穷小替换的适用条件
步骤 2/5
目标：分析x→+∞时的渐近行为
当$x\to +\infty$时，$|\sin t|$是周期为$\pi$的周期函数，其在一个周期上的积分为常数$\int_0^\pi |\sin t|\,dt = 2$。因此$\int_0^x |\sin t|\,dt$的增长是线性的，即存在常数$C>0$使得$\int_0^x |\sin t|\,dt \sim Cx$（实际上$C = \frac{2}{\pi}$）。于是$f(x) \sim \frac{Cx}{x^\alpha} = Cx^{1-\alpha}$。要使$f(x)$在$x\to +\infty$时有界，需$1-\alpha \leq 0$，即$\alpha \geq 1$。
公式：$$\int_0^x |\sin t|\,dt \sim \frac{2}{\pi}x$$
提示：注意周期函数积分线性增长
步骤 3/5
目标：综合两个条件
由$x\to 0^+$有界得$\alpha \leq 2$，由$x\to +\infty$有界得$\alpha \geq 1$。因此$\alpha$的取值范围是$[1,2]$。
提示：注意分段讨论极限条件
步骤 4/5
目标：验证边界情况
当$\alpha=1$时，$f(x)=\frac{\int_0^x |\sin t|\,dt}{x}$，$x\to 0^+$时$f(x)\sim \frac{1}{2}x$趋于0，$x\to +\infty$时$f(x)\sim \frac{2}{\pi}$有界。当$\alpha=2$时，$f(x)=\frac{\int_0^x |\sin t|\,dt}{x^2}$，$x\to 0^+$时$f(x)\sim \frac{1}{2}$有界，$x\to +\infty$时$f(x)\sim \frac{2}{\pi x}\to 0$有界。因此边界$\alpha=1$和$\alpha=2$均满足有界性。
提示：注意边界α=1和α=2的渐近行为
步骤 5/5
目标：最终答案
综上所述，$\alpha$的取值范围是$[1,2]$，即$\alpha \geq 1$且$\alpha \leq 2$。
提示：注意端点值1和2是否包含
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