kaoyan1advanced 高等数学 第24题
📝 题目
### 第24题
已知 $f^{\prime}(x) \cdot \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=8$ ，且 $f(0)=0, f(x) \geqslant 0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$4x$ **解析**： 步骤1：设$\int_0^2 f(x)dx = C$，则$f'(x)C=8$，即$\displaystyle f'(x)=\frac{8}{C}$，积分得$\displaystyle f(x)=\frac{8}{C}x$。 步骤2：代入$\displaystyle C=\int_0^2 \frac{8}{C}x dx = \frac{16}{C}$，得$C^2=16$，由$f(x)\geq 0$知$C=4$，故$f(x)=4x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设常数并求导
设 $\int_0^2 f(x) \, dx = C$，则原条件 $f'(x) \cdot \int_0^2 f(x) \, dx = 8$ 化为 $f'(x) \cdot C = 8$，即 $f'(x) = \frac{8}{C}$。
公式：$$\int_0^2 f(x) \, dx = C, \quad f'(x) = \frac{8}{C}$$
提示：注意常数C是定积分值，非零
步骤 2/5
目标：积分求函数形式
对 $f'(x) = \frac{8}{C}$ 积分，得 $f(x) = \frac{8}{C}x + k$。由 $f(0) = 0$ 得 $k = 0$，故 $f(x) = \frac{8}{C}x$。
公式：$$f(x) = \frac{8}{C}x$$
提示：注意积分常数C不为0
步骤 3/5
目标：代入常数定义
将 $f(x) = \frac{8}{C}x$ 代入 $C = \int_0^2 f(x) \, dx$，得 $C = \int_0^2 \frac{8}{C}x \, dx = \frac{8}{C} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{8}{C} \cdot 2 = \frac{16}{C}$。
公式：$$C = \int_0^2 \frac{8}{C}x \, dx = \frac{8}{C} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{8}{C} \cdot 2 = \frac{16}{C}$$
提示：注意积分上下限代入正确
步骤 4/5
目标：解出常数C
由 $C = \frac{16}{C}$ 得 $C^2 = 16$，所以 $C = \pm 4$。又因为 $f(x) \geq 0$ 且 $f(x) = \frac{8}{C}x$，故 $C$ 必须为正，即 $C = 4$。
公式：$$C = \frac{16}{C} \Rightarrow C^2 = 16 \Rightarrow C = \pm 4$$
提示：注意根据非负条件舍去负根
步骤 5/5
目标：得出函数表达式
将 $C = 4$ 代入 $f(x) = \frac{8}{C}x$，得 $f(x) = \frac{8}{4}x = 2x$。
公式：$$f(x) = \frac{8}{C}x$$
提示：代入常数时注意计算准确性
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