kaoyan1advanced 高等数学 第44题
📝 题目
### 第44题
设 $a>0, f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array} \quad D\right.$ 表示全平面，则 $\iint_{D} f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． 建议谷题时闪 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$
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💡 答案解析
**答案**：$a^2$ **解析**： 步骤1：$f(x)=a$当$0\leq x\leq1$，否则0；$g(y-x)=a$当$0\leq y-x\leq1$，即$x\leq y\leq x+1$，否则0。 步骤2：二重积分$\iint_D f(x)g(y-x)dxdy$，非零区域需同时满足$0\leq x\leq1$和$x\leq y\leq x+1$。 步骤3：积分$\int_0^1 dx\int_x^{x+1} a\cdot a dy=\int_0^1 a^2\cdot 1 dx=a^2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定被积函数的非零区域
由题意，$f(x)=a$ 当 $0 \leq x \leq 1$，否则为0；$g(y-x)=a$ 当 $0 \leq y-x \leq 1$，即 $x \leq y \leq x+1$，否则为0。因此被积函数 $f(x)g(y-x)$ 的非零区域为 $\{ (x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq x+1 \}$。
提示：注意分段函数的定义域转换
步骤 2/4
目标：将二重积分化为累次积分
在非零区域上，$f(x)=a$，$g(y-x)=a$，所以积分化为：
$$\iint_D f(x)g(y-x) \, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{x}^{x+1} a \cdot a \, dy \, dx = a^2 \int_{0}^{1} \int_{x}^{x+1} dy \, dx.$$
公式：$$\iint_D f(x)g(y-x) \, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{x}^{x+1} a \cdot a \, dy \, dx$$
提示：注意非零区域对应积分限
步骤 3/4
目标：计算内层积分
对固定的 $x$，内层积分 $\int_{x}^{x+1} dy = (x+1) - x = 1$。
公式：$$\int_{x}^{x+1} dy = (x+1) - x = 1$$
提示：注意积分限与变量无关
步骤 4/4
目标：计算外层积分并得出答案
外层积分为 $a^2 \int_{0}^{1} 1 \, dx = a^2 \cdot 1 = a^2$。因此，所求二重积分的值为 $a^2$。
公式：$$\int_{0}^{1} a^2 \, dx = a^2$$
提示：注意外层积分常数因子提取
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