kaoyan1advanced 高等数学 第149题
📝 题目
### 第149题
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得
$$ $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0 .$ $$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：设 $F(x)=\int_0^x f(t) dt$，则 $F(0)=0$，$F(1)=\int_0^1 f(t) dt$。由条件 $\int_0^1 x^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx$，即 $\int_0^1 (x^2-1) f(x) dx = 0$。 步骤2：分部积分 $\int_0^1 (x^2-1) f(x) dx = (x^2-1)F(x)\big|_0^1 - \int_0^1 2x F(x) dx = 0 - 0 - 2\int_0^1 x F(x) dx = 0$，故 $\int_0^1 x F(x) dx = 0$。 步骤3：由积分中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $\xi F(\xi) \cdot 1 = 0$，即 $\xi F(\xi)=0$，因 $\xi>0$，故 $F(\xi)=0$，即 $\int_0^\xi f(x) dx = 0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数并转化条件
设 $F(x)=\int_0^x f(t) dt$，则 $F(0)=0$，$F(1)=\int_0^1 f(t) dt$。由已知条件 $\int_0^1 x^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx$，移项得 $\int_0^1 (x^2-1) f(x) dx = 0$。
公式：$$\int_0^1 (x^2-1)f(x)dx=0$$
提示：注意移项时符号变化
步骤 2/3
目标：分部积分化简
对 $\int_0^1 (x^2-1) f(x) dx$ 进行分部积分：令 $u=x^2-1$，$dv=f(x)dx$，则 $du=2x dx$，$v=F(x)$。于是 $$\int_0^1 (x^2-1) f(x) dx = (x^2-1)F(x)\big|_0^1 - \int_0^1 2x F(x) dx = (1-1)F(1) - (0-1)F(0) - 2\int_0^1 x F(x) dx = 0 - 0 - 2\int_0^1 x F(x) dx = -2\int_0^1 x F(x) dx.$$ 由 $\int_0^1 (x^2-1) f(x) dx = 0$ 得 $\int_0^1 x F(x) dx = 0$。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意边界项计算，F(0)可能非零
步骤 3/3
目标：应用积分中值定理
由于 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$x$ 在 $[0,1]$ 上非负，由积分中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $$\int_0^1 x F(x) dx = \xi F(\xi) \cdot (1-0) = \xi F(\xi).$$ 又 $\int_0^1 x F(x) dx = 0$，故 $\xi F(\xi)=0$。因为 $\xi>0$，所以 $F(\xi)=0$，即 $\int_0^\xi f(x) dx = 0$。
公式：$$\int_0^1 x F(x) dx = \xi F(\xi)$$
提示：注意ξ在(0,1)内且x非负
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