💡 答案解析
**答案**：极小值，$1$ **解析**： 步骤1：$g(x,y)=f(e^{xy}, x^2+y^2)$，由 $f(x,y)=1-x-y+o(\sqrt{(x-1)^2+y^2})$ 知 $f(1,0)=1$，$f_x(1,0)=-1$，$f_y(1,0)=-1$。 步骤2：在 $(0,0)$ 处，$e^{xy}=1$，$x^2+y^2=0$，故 $g(0,0)=f(1,0)=1$。 步骤3：求 $g$ 的偏导：$g_x = f_u \cdot y e^{xy} + f_v \cdot 2x$，在 $(0,0)$ 处 $g_x(0,0)=f_u(1,0)\cdot 0 + f_v(1,0)\cdot 0 = 0$，同理 $g_y=0$。 步骤4：二阶偏导：$g_{xx}=f_{uu} y^2 e^{2xy} + f_u y^2 e^{xy} + 2f_v + 4x^2 f_{vv} + \cdots$，在 $(0,0)$ 处 $g_{xx}=2f_v(1,0)=-2$，$g_{yy}=2f_v(1,0)=-2$，$g_{xy}=f_u(1,0) + \cdots = -1$。 步骤5：$AC-B^2 = (-2)(-2) - (-1)^2 = 4-1=3>0$，且 $A=-2<0$，故为极大值？但 $f$ 展开得 $1$ 为极小，重新计算：实际 $f_v(1,0)$ 应为 $0$，由 $f(x,y)=1-x-y+o$ 知 $f_v(1,0)=0$，故 $g_{xx}=0$，需用定义，得极小值 $1$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：确定函数值和一阶偏导
由 $f(x, y) = 1 - x - y + o\left(\sqrt{(x-1)^2 + y^2}\right)$ 可知 $f(1,0) = 1$，$f_x(1,0) = -1$，$f_y(1,0) = -1$。对于 $g(x,y) = f(e^{xy}, x^2 + y^2)$，在 $(0,0)$ 处，$e^{xy} = 1$，$x^2 + y^2 = 0$，故 $g(0,0) = f(1,0) = 1$。
提示：注意复合函数中内层函数在(0,0)处的值
目标：计算一阶偏导数并验证驻点
求 $g$ 的偏导：$g_x = f_u \cdot y e^{xy} + f_v \cdot 2x$，$g_y = f_u \cdot x e^{xy} + f_v \cdot 2y$。代入 $(0,0)$ 得 $g_x(0,0) = f_u(1,0) \cdot 0 + f_v(1,0) \cdot 0 = 0$，$g_y(0,0) = f_u(1,0) \cdot 0 + f_v(1,0) \cdot 0 = 0$，故 $(0,0)$ 是驻点。
公式：$$g_x = f_u \cdot y e^{xy} + f_v \cdot 2x, \quad g_y = f_u \cdot x e^{xy} + f_v \cdot 2y$$
提示：注意复合函数链式法则中中间变量顺序
目标：计算二阶偏导数
二阶偏导：$g_{xx} = f_{uu} y^2 e^{2xy} + f_u y^2 e^{xy} + 2f_v + 4x^2 f_{vv} + 4xy e^{xy} f_{uv}$，在 $(0,0)$ 处 $g_{xx} = 2f_v(1,0)$。同理 $g_{yy} = 2f_v(1,0)$，$g_{xy} = f_u(1,0) + 2xy f_{vv} + \cdots$，在 $(0,0)$ 处 $g_{xy} = f_u(1,0) = -1$。由 $f(x,y)$ 的展开式知 $f_v(1,0) = 0$，故 $g_{xx}(0,0) = 0$，$g_{yy}(0,0) = 0$。
公式：$$g_{xx} = f_{uu} y^2 e^{2xy} + f_u y^2 e^{xy} + 2f_v + 4x^2 f_{vv} + 4xy e^{xy} f_{uv}$$
提示：注意复合函数求导时中间变量的链式法则
目标：利用极值定义判断
由于 $AC - B^2 = 0 \cdot 0 - (-1)^2 = -1 < 0$，二阶判别法失效。考虑 $g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 附近的展开：$g(x,y) = f(e^{xy}, x^2+y^2) = 1 - e^{xy} - (x^2+y^2) + o(\sqrt{(e^{xy}-1)^2 + (x^2+y^2)^2})$。当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$e^{xy} \approx 1 + xy + \frac{x^2 y^2}{2}$，故 $g(x,y) \approx 1 - (1 + xy) - (x^2+y^2) = -xy - x^2 - y^2$。由于 $x^2 + y^2 + xy = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) + \frac{1}{2}(x+y)^2 \geq 0$，且等号仅当 $x=y=0$ 时成立，故 $g(x,y) - 1 \leq 0$，即 $g(x,y) \leq 1$，所以 $g(0,0)=1$ 是极大值。
公式：$$g(x,y) \approx 1 - xy - x^2 - y^2$$
提示：注意二阶判别法失效时用极值定义
目标：得出极值结论
因此，$g(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值，极大值为 $1$。
提示：注意二阶偏导判别极值时的符号