kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第258题
📝 题目
### 第258题
设 $A 、 B$ 两事件相互独立，且 $\displaystyle P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ ，又设
$$ C=(A \cup B)(\bar{A} \cup B)(A \cup \bar{B}), $$
则 $P(\bar{C})=$ $\_\_\_\_$ ．
镉估
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{4}$ **解析**： 步骤1：化简 $C = (A \cup B)(\bar{A} \cup B)(A \cup \bar{B})$。由事件运算，$(A \cup B)(\bar{A} \cup B) = B \cup (A \bar{A}) = B$，故 $C = B (A \cup \bar{B}) = AB \cup B\bar{B} = AB$。 步骤2：故 $C = AB$，$\displaystyle P(C) = P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，所以 $\displaystyle P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简事件C
由事件运算，$(A \cup B)(\bar{A} \cup B) = B \cup (A \bar{A}) = B$，故 $C = B (A \cup \bar{B}) = AB \cup B\bar{B} = AB$。
公式：$$(A \cup B)(\bar{A} \cup B) = B \cup (A \bar{A}) = B$$
提示：注意事件运算的分配律和吸收律
步骤 2/3
目标：计算P(C)
由于A、B相互独立，且$P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$，则$P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
公式：$$P(AB) = P(A)P(B)$$
提示：注意事件C的定义等价于AB
步骤 3/3
目标：计算P(\bar{C})
由概率性质，$P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
公式：$$P(\bar{C}) = 1 - P(C)$$
提示：注意互补事件概率和为1
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。