kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第259题
📝 题目
### 第259题
在区间 $(0,1)$ 中随机地取出两个数，则＂两数之积小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$＂的概率为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$ **解析**： 步骤1：设两数为 $x, y$ 独立服从 $U(0,1)$，则 $(x,y)$ 在单位正方形内均匀分布。 步骤2：事件 $\displaystyle \{xy < \frac{1}{2}\}$ 的面积 = $\displaystyle 1 - \int_{1/2}^1 \int_{1/(2x)}^1 dy dx = 1 - \int_{1/2}^1 (1 - \frac{1}{2x}) dx = 1 - \left[ x - \frac{1}{2} \ln x \right]_{1/2}^1 = 1 - \left[ (1 - 0) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2}) \right] = 1 - \left[ 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2 \right] = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立概率模型
设两数为 $x, y$，且 $x, y$ 独立服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $(x,y)$ 在单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 内均匀分布。
提示：注意区间是开区间(0,1)，但概率计算与闭区间相同
步骤 2/5
目标：确定事件区域
事件 $\{xy < \frac{1}{2}\}$ 对应区域为 $\{(x,y) \mid 0 < x < 1, 0 < y < 1, xy < \frac{1}{2}\}$。由于 $xy = \frac{1}{2}$ 是双曲线，在 $x \in (0,1)$ 内，当 $x \le \frac{1}{2}$ 时，$y$ 始终小于1，故 $xy < \frac{1}{2}$ 恒成立；当 $x > \frac{1}{2}$ 时，$y < \frac{1}{2x}$。因此事件区域面积为 $1 \times \frac{1}{2} + \int_{1/2}^1 \frac{1}{2x} \, dx$。
公式：$$P = \frac{\text{事件区域面积}}{\text{总区域面积}} = \frac{1 \times \frac{1}{2} + \int_{1/2}^{1} \frac{1}{2x} \, dx}{1 \times 1}$$
提示：注意分界点x=1/2处区域划分
步骤 3/5
目标：计算面积（方法一：直接积分）
事件面积 $S = \int_0^{1/2} 1 \, dx + \int_{1/2}^1 \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} + \left[ \frac{1}{2} \ln x \right]_{1/2}^1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\ln 1 - \ln \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$。
公式：$$S = \int_0^{1/2} 1 \, dx + \int_{1/2}^1 \frac{1}{2x} \, dx$$
提示：注意积分上下限和分段条件
步骤 4/5
目标：计算面积（方法二：补集法）
事件 $\{xy \ge \frac{1}{2}\}$ 的区域面积为 $\int_{1/2}^1 \int_{1/(2x)}^1 dy \, dx = \int_{1/2}^1 (1 - \frac{1}{2x}) \, dx = \left[ x - \frac{1}{2} \ln x \right]_{1/2}^1 = (1-0) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2$。则事件 $\{xy < \frac{1}{2}\}$ 的面积为 $1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$。
公式：$$\int_{1/2}^1 \int_{1/(2x)}^1 dy \, dx = \int_{1/2}^1 (1 - \frac{1}{2x}) \, dx = \left[ x - \frac{1}{2} \ln x \right]_{1/2}^1$$
提示：注意积分上下限和补集转换
步骤 5/5
目标：得出概率
由于 $(x,y)$ 在单位正方形内均匀分布，概率等于事件区域面积与正方形面积之比，正方形面积为1，故概率为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$。
公式：$$P = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$$
提示：注意积分区域边界为曲线xy=1/2
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。