kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第260题
📝 题目
### 第260题
设随机变量 $X$ 的概率分布 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{a}{k(k+1)}, k=1,2, \cdots$ ，其中 $a$ 为常数．$X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，已知 $\displaystyle F(b)=\frac{3}{4}$ ，则 $b$ 的取值范围应为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$[3,4)$ **解析**： 步骤1：由归一性 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a}{k(k+1)} = a \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = a \cdot 1 = 1$，得 $a=1$。 步骤2：分布函数 $\displaystyle F(x) = \sum_{k \leq x} \frac{1}{k(k+1)}$，部分和 $\displaystyle S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$。 步骤3：$\displaystyle F(b) = \frac{3}{4}$ 即 $\displaystyle 1 - \frac{1}{\lfloor b \rfloor + 1} = \frac{3}{4}$，得 $\displaystyle \frac{1}{\lfloor b \rfloor + 1} = \frac{1}{4}$，故 $\lfloor b \rfloor + 1 = 4$，$\lfloor b \rfloor = 3$，所以 $b \in [3,4)$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定常数a
由概率分布的归一性：
$$\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a}{k(k+1)} = 1$$
利用裂项相消：
$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$
则
$$a \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = a \cdot 1 = 1$$
解得 $a=1$。
公式：$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a}{k(k+1)} = 1$$
提示：注意裂项后求和极限为1
步骤 2/4
目标：写出分布函数F(x)的表达式
分布函数定义为 $F(x) = P\{X \leq x\}$，由于X取正整数，有
$$F(x) = \sum_{k \leq x} \frac{1}{k(k+1)}$$
部分和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$，因此对于任意实数x，
$$F(x) = 1 - \frac{1}{\lfloor x \rfloor + 1}$$
其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示x的整数部分。
公式：$$F(x) = 1 - \frac{1}{\lfloor x \rfloor + 1}$$
提示：注意分布函数定义域为全体实数，需分段处理
步骤 3/4
目标：利用已知条件F(b)=3/4求解b的范围
由 $F(b) = \frac{3}{4}$ 得
$$1 - \frac{1}{\lfloor b \rfloor + 1} = \frac{3}{4}$$
整理得
$$\frac{1}{\lfloor b \rfloor + 1} = \frac{1}{4}$$
因此 $\lfloor b \rfloor + 1 = 4$，即 $\lfloor b \rfloor = 3$。
公式：$$F(b) = 1 - \frac{1}{\lfloor b \rfloor + 1} = \frac{3}{4}$$
提示：注意分布函数F(b)的表达式推导
步骤 4/4
目标：确定b的取值范围
由 $\lfloor b \rfloor = 3$ 可知b的整数部分为3，故b的取值范围为 $[3, 4)$。
提示：注意整数部分定义，区间左闭右开
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