kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第261题
📝 题目
### 第261题
设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}1, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$则 $X$ 的边缘概率密度为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$f_X(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ **解析**： 步骤1：区域由 $0 \leq y \leq x \leq 2-y$ 确定，即 $y \leq x$ 且 $x \leq 2-y$，得 $y \leq x$ 且 $y \leq 2-x$，故 $0 \leq y \leq \min(x, 2-x)$。 步骤2：当 $0 \leq x \leq 1$ 时，$\min(x,2-x)=x$，$f_X(x) = \int_0^x 1 dy = x$。 步骤3：当 $1 < x \leq 2$ 时，$\min(x,2-x)=2-x$，$f_X(x) = \int_0^{2-x} 1 dy =
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域
由条件 $0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y$ 可得 $y \leq x$ 且 $x \leq 2-y$，即 $y \leq x$ 且 $y \leq 2-x$，因此 $0 \leq y \leq \min(x, 2-x)$。
提示：注意不等式转换时保持方向一致
步骤 2/5
目标：分段讨论 $x$ 的范围
当 $0 \leq x \leq 1$ 时，$\min(x,2-x)=x$；当 $1 < x \leq 2$ 时，$\min(x,2-x)=2-x$。
提示：注意分段点x=1处左右表达式不同
步骤 3/5
目标：计算 $0 \leq x \leq 1$ 时的边缘密度
$$f_X(x) = \int_{0}^{x} 1 \, dy = x$$
公式：$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy$$
提示：注意积分上下限由支撑集决定
步骤 4/5
目标：计算 $1 < x \leq 2$ 时的边缘密度
$$f_X(x) = \int_{0}^{2-x} 1 \, dy = 2-x$$
公式：$$f_X(x) = \int_{0}^{2-x} 1 \, dy = 2-x$$
提示：注意积分上限2-x由条件y≤2-x得出
步骤 5/5
目标：写出最终表达式
$$f_X(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
公式：$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy$$
提示：注意分段积分区间
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