kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第262题
📝 题目
### 第262题
设 $X$ 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 $\displaystyle Y=X-\frac{1}{2}$ 的概率密度函数 $f_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
好的，我们先把题目中的条件逐步分析清楚，然后求出Y的概率密度函数。题目中X服从参数为2的指数分布，这里参数通常指的是率参数（rate parameter）λ=2，所以它的概率密度函数为：
当 x > 0 时， $$ f_X(x) = 2 e^{-2x} $$ 当 x ≤ 0 时，f_X(x)=0。
现在定义新变量： $$ Y = X - \frac12 $$ 这意味着 X 和 Y 是一一对应的线性变换，我们可以用变量变换法求密度函数。
首先，反解出 X 用 Y 表示： $$ X = Y + \frac12 $$ 变换的导数为： $$ \frac{dx}{dy} = 1 $$ 所以根据变量变换公式： $$ f_Y(y) = f_X(x) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| $$ 代入 x = y + 1/2，注意 X 的定义域是 x>0，所以 y+1/2 > 0，即 y > -1/2。
于是： 当 y > -1/2 时， $$ f_Y(y) = 2 e^{-2(y + \frac12)} \cdot 1 = 2 e^{-2y -1} $$ 当 y ≤ -1/2 时，f_Y(y)=0。
因此最终答案为： $$ f_Y(y) = \begin{cases} 2 e^{-2y -1}, & y > -\frac12 \\ 0, & y \le -\frac12 \end{cases} $$
**解答**：完整过程如上，结果为分段函数形式。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定X的概率密度函数
X服从参数为2的指数分布，即率参数λ=2，其概率密度函数为：
$$f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$
公式：$$f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$
提示：注意指数分布参数λ的含义
步骤 2/5
目标：建立Y与X的变换关系
由定义 $Y = X - \frac{1}{2}$，反解得 $X = Y + \frac{1}{2}$。变换的导数为 $\frac{dx}{dy} = 1$。
公式：$$X = Y + \frac{1}{2}, \quad \frac{dx}{dy} = 1$$
提示：注意反解时变量范围的变化
步骤 3/5
目标：确定Y的定义域
由于X的定义域为 $x > 0$，代入 $x = y + \frac{1}{2}$ 得 $y + \frac{1}{2} > 0$，即 $y > -\frac{1}{2}$。
提示：注意指数分布定义域x>0
步骤 4/5
目标：应用变量变换公式求f_Y(y)
根据变量变换公式 $f_Y(y) = f_X(x) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|$，代入 $x = y + \frac{1}{2}$ 和 $\left| \frac{dx}{dy} \right| = 1$，得：
当 $y > -\frac{1}{2}$ 时，
$$f_Y(y) = 2e^{-2(y + \frac{1}{2})} \cdot 1 = 2e^{-2y - 1}$$
当 $y \leq -\frac{1}{2}$ 时，$f_Y(y) = 0$。
公式：$$f_Y(y) = f_X(x) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|$$
提示：注意指数分布参数2的含义
步骤 5/5
目标：写出最终答案
因此，随机变量Y的概率密度函数为：
$$f_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2y - 1}, & y > -\frac{1}{2} \\ 0, & y \leq -\frac{1}{2} \end{cases}$$
公式：$$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|$$
提示：注意指数分布参数λ=2，变换后定义域变化
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