kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第263题
📝 题目
### 第263题
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，$a$ 为大于 2 的常数，已知 $P\{X \leqslant a \mid X>2\}= 1-\mathrm{e}^{-2}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 建衩答题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
好的，我们先一步步分析这个条件概率问题，题目中给的条件很明确，我们按步骤来解。
**第一步：写出已知条件** 指数分布参数为 2，即其概率密度函数为 $$ f_X(x) = 2e^{-2x}, \quad x \ge 0 $$ 分布函数为 $$ F_X(x) = 1 - e^{-2x}, \quad x \ge 0 $$
已知条件为 $$ P\{X \le a \mid X > 2\} = 1 - e^{-2} $$
**第二步：条件概率公式转化** 由条件概率定义： $$ P\{X \le a \mid X > 2\} = \frac{P\{2 < X \le a\}}{P\{X > 2\}} $$ 注意这里要求 $a > 2$，所以区间有意义。
分母： $$ P\{X > 2\} = 1 - F_X(2) = 1 - (1 - e^{-4}) = e^{-4} $$
分子： $$ P\{2 < X \le a\} = F_X(a) - F_X(2) = (1 - e^{-2a}) - (1 - e^{-4}) = e^{-4} - e^{-2a} $$
**第三步：代入条件** 于是条件概率为 $$ \frac{e^{-4} - e^{-2a}}{e^{-4}} = 1 - e^{-2a + 4} $$ 题目说它等于 $1 - e^{-2}$，因此 $$ 1 - e^{-2a + 4} = 1 - e^{-2} $$
**第四步：解方程** 两边消去 1，得到 $$ - e^{-2a + 4} = - e^{-2} $$ 即 $$ e^{-2a + 4} = e^{-2} $$ 所以指数相等： $$ -2a + 4 = -2 $$ 解得 $$ -2a = -6 \quad\Rightarrow\quad a = 3 $$
**第五步：最终答案** $$ \boxed{3} $$
这个题主要考察指数分布的无记忆性以及条件概率公式，计算量很小，熟练的话一分钟内可以完成。