kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第264题

好的，我们先一步步分析题目中的条件，然后求出 Z = X - Y 的概率密度函数。题目中给的概率密度函数是常数1，但定义域比较特殊，我们先画出这个区域。

**第一步：确定区域范围** 条件为： $$ 0 \le y \le x \le 2 - y $$ 这可以拆成两部分： - 下界：y ≥ 0，且 x ≥ y - 上界：x ≤ 2 - y，同时隐含 y ≤ 2 - y，即 y ≤ 1。

所以 y 的范围是 0 ≤ y ≤ 1。 当 y 固定时，x 的范围是从 y 到 2-y。

区域形状： - 当 y=0 时，x 从 0 到 2 - 当 y=1 时，x 从 1 到 1（一个点） 所以这是一个三角形区域，顶点为 (0,0)、(2,0)、(1,1)。

**第二步：引入新变量** 我们要求 Z = X - Y，令另一个变量比如 W = Y（或者 X），方便做变量变换。 令： $$ Z = X - Y, \quad W = Y $$ 则反变换为： $$ X = Z + W, \quad Y = W $$ 雅可比行列式： $$ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 $$

**第三步：确定新变量的取值范围** 原区域条件： 1. $0 \le y \le 1$ → $0 \le w \le 1$ 2. $y \le x \le 2-y$ 变成： - 左边：$w \le z + w$ → $0 \le z$，即 $z \ge 0$ - 右边：$z + w \le 2 - w$ → $z \le 2 - 2w$

所以对于固定的 z，w 必须满足： $$ 0 \le w \le 1, \quad z \ge 0, \quad w \le 1 - \frac{z}{2} $$ 同时 w 也要 ≥ 0，所以 w 的上限是 $\min(1, 1 - z/2)$。

由于 z ≥ 0，当 z > 2 时，1 - z/2 < 0，此时没有 w 满足条件，所以 z 的范围是 0 ≤ z ≤ 2。

**第四步：求边缘密度** 联合密度在变换后仍是常数1（因为雅可比为1，原密度为1），所以： $$ f_{Z,W}(z,w) = 1, \quad 在区域内 $$ 对 w 积分得到 Z 的密度： - 当 0 ≤ z ≤ 2 时，w 从 0 到 $1 - z/2$ 所以： $$ f_Z(z) = \int_0^{1 - z/2} 1 \, dw = 1 - \frac{z}{2} $$

**第五步：写出最终结果** 因此： $$ f_Z(z) = \begin{cases} 1 - \frac{z}{2}, & 0 \le z \le 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$

**最终答案**： $$ \boxed{f_Z(z)=\begin{cases}1-\dfrac{z}{2},&0\leq z\leq 2\\0,&\text{其他}\end{cases}} $$

这样就完成了整个推导过程。