kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第265题
📝 题目
### 第265题
已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布，且随机变量 $Y=\left\{\begin{array}{cc}X, & |X| \leqslant 1, \\ -X, & |X|>1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle P\left\{Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先仔细分析题目，然后一步步推理出结果。题目中给的是一个指数分布，然后通过一个分段函数定义了新的随机变量 Y，最后要求 Y ≤ 1/2 的概率。我们先明确已知条件。
---
**第一步：明确 X 的分布**
X 服从参数为 λ 的指数分布，其概率密度函数为：
$$ f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases} $$
注意指数分布只在非负实数上有定义，所以 |X| = X 恒成立，因为 X ≥ 0。
---
**第二步：化简 Y 的定义**
因为 X ≥ 0，所以 |X| = X。那么条件 |X| ≤ 1 等价于 0 ≤ X ≤ 1；|X| > 1 等价于 X > 1。
于是 Y 的定义可以简化为：
$$ Y = \begin{cases} X, & 0 \le X \le 1, \\ -X, & X > 1. \end{cases} $$
也就是说，当 X 在 [0,1] 时，Y 就是 X 本身，取值在 [0,1]；当 X > 1 时，Y = -X，取值在 (-∞, -1)。
---
**第三步：分析事件 {Y ≤ 1/2}**
我们要找的是 Y ≤ 1/2 的概率。
- 当 X ∈ [0,1] 时，Y = X，所以此时 Y ≤ 1/2 等价于 X ≤ 1/2。 - 当 X > 1 时，Y = -X，此时 Y 总是小于 -1，肯定小于 1/2，所以所有 X > 1 的情况都自动满足 Y ≤ 1/2。
因此事件 {Y ≤ 1/2} 等价于：
$$ \{0 \le X \le 1/2\} \cup \{X > 1\}. $$
这两个区间是不重叠的，所以概率可以直接相加。
---
**第四步：计算概率**
指数分布的分布函数为：
$$ F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0. $$
于是：
$$ P(0 \le X \le 1/2) = F_X(1/2) - F_X(0) = (1 - e^{-\lambda/2}) - 0 = 1 - e^{-\lambda/2}. $$
$$ P(X > 1) = 1 - F_X(1) = e^{-\lambda}. $$
所以总概率为：
$$ P(Y \le 1/2) = (1 - e^{-\lambda/2}) + e^{-\lambda}. $$
---
**第五步：整理最终结果**
$$ \boxed{1 - e^{-\lambda/2} + e^{-\lambda}} $$
这就是最终答案，不需要进一步化简，因为已经是最简形式。
---
这样我们就完整地解答了这道题，关键点在于注意到指数分布定义域非负，从而简化了 Y 的表达式，再转化为 X 的事件求概率即可。