kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第266题
📝 题目
### 第266题
设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，在 $X=x$ 条件下，随机变量 $Y \sim N(x, 1)$ ，则 $Y$ 的方差 $D Y=$
💡 答案解析
好的，我们先一步步分析这个题目，它考察的是条件分布和全方差公式的应用。我们先明确已知条件，然后计算最终结果。题目里说：
- 随机变量 $ X \sim N(0,1) $，所以 $ E[X]=0 $，$ D[X]=1 $。 - 在给定 $ X=x $ 的条件下，$ Y \sim N(x,1) $，意思是条件期望 $ E[Y|X=x] = x $，条件方差 $ D[Y|X=x] = 1 $。
我们要的是 $ Y $ 的方差 $ D[Y] $。
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**第一步：使用全方差公式**
全方差公式为： $$ D[Y] = E[ D(Y|X) ] + D[ E(Y|X) ] $$
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**第二步：计算两项**
先看第一项 $ E[ D(Y|X) ] $： 条件方差 $ D(Y|X) = 1 $（与 $ X $ 无关），所以 $$ E[ D(Y|X) ] = E[1] = 1 $$
再看第二项 $ D[ E(Y|X) ] $： 条件期望 $ E(Y|X) = X $，而 $ X \sim N(0,1) $，所以 $$ D[ E(Y|X) ] = D[X] = 1 $$
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**第三步：求和**
$$ D[Y] = 1 + 1 = 2 $$
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**最终答案**： $$ \boxed{2} $$
这样我们就得到了结果，过程清晰，完全符合全方差公式的应用。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：明确已知条件
已知随机变量 $X \sim N(0,1)$，所以 $E[X]=0$，$D[X]=1$。在 $X=x$ 条件下，$Y \sim N(x,1)$，即条件期望 $E[Y|X=x]=x$，条件方差 $D[Y|X=x]=1$。
提示：注意条件方差为常数1
步骤 2/6
目标：步骤2：应用全方差公式
全方差公式为：$D[Y] = E[D(Y|X)] + D[E(Y|X)]$。
公式：$$D[Y] = E[D(Y|X)] + D[E(Y|X)]$$
提示：注意条件期望和条件方差的计算
步骤 3/6
目标：步骤3：计算第一项 $E[D(Y|X)]$
条件方差 $D(Y|X)=1$ 与 $X$ 无关，因此 $E[D(Y|X)] = E[1] = 1$。
公式：$$D(Y|X)=1$$
提示：条件方差为常数时，期望即本身
步骤 4/6
目标：步骤4：计算第二项 $D[E(Y|X)]$
条件期望 $E(Y|X)=X$，而 $X \sim N(0,1)$，所以 $D[E(Y|X)] = D[X] = 1$。
公式：$$D[E(Y|X)] = D[X] = 1$$
提示：注意条件期望是X的函数
步骤 5/6
目标：步骤5：求和得到 $D[Y]$
将两项相加：$D[Y] = 1 + 1 = 2$。
公式：$$D[Y] = E[D(Y|X)] + D[E(Y|X)]$$
提示：注意条件方差公式的运用
步骤 6/6
目标：最终答案
\boxed{2}
公式：$$D(Y) = E[D(Y|X)] + D[E(Y|X)]$$
提示：注意条件方差公式的应用
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