kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第267题
📝 题目
### 第267题
假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$Y=|X|$ ，则 $(X, Y)$ 的联合分布函数 $F(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$F(x,y)=\begin{cases}0, & x<0 \text{ 或 } y<0 \\ 1-e^{-\lambda x}, & 0\leq x
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定随机变量的关系
由于 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其取值范围为 $X \geq 0$。因此 $Y = |X| = X$，即 $Y$ 与 $X$ 相等。
提示：注意指数分布非负，绝对值等于自身
步骤 2/5
目标：写出联合分布函数的定义
联合分布函数定义为 $F(x, y) = P\{X \leq x, Y \leq y\}$。代入 $Y = X$，得到 $F(x, y) = P\{X \leq x, X \leq y\} = P\{X \leq \min(x, y)\}$。
公式：$$F(x, y) = P\{X \leq x, Y \leq y\} = P\{X \leq \min(x, y)\}$$
提示：注意Y=|X|，但X非负，故Y=X
步骤 3/5
目标：分情况讨论
当 $x < 0$ 或 $y < 0$ 时，$\min(x, y) < 0$，而 $X \geq 0$，故概率为 $0$，即 $F(x, y) = 0$。当 $\min(x, y) \geq 0$ 时，利用指数分布的分布函数 $P\{X \leq t\} = 1 - e^{-\lambda t}$（$t \geq 0$），得 $F(x, y) = 1 - e^{-\lambda \min(x, y)}$。
公式：$$F(x, y) = \begin{cases} 0, & x < 0 \text{ 或 } y < 0 \\ 1 - e^{-\lambda \min(x, y)}, & \min(x, y) \geq 0 \end{cases}$$
提示：注意X非负，联合分布由min决定
步骤 4/5
目标：分段表示最终结果
将 $\min(x, y)$ 分段：若 $0 \leq x < y$，则 $\min(x, y) = x$，$F(x, y) = 1 - e^{-\lambda x}$；若 $0 \leq y \leq x$，则 $\min(x, y) = y$，$F(x, y) = 1 - e^{-\lambda y}$。
提示：注意min(x,y)的分段条件
步骤 5/5
目标：给出答案
因此，联合分布函数为：
$$F(x,y)=\begin{cases}0, & x<0 \text{ 或 } y<0 \\ 1-e^{-\lambda x}, & 0\leq x
公式：$$F(x,y)=\begin{cases}0, & x<0 \text{ 或 } y<0 \\ 1-e^{-\lambda x}, & 0\leq x
提示：注意区分x和y的大小关系对分布函数的影响
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