kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第268题

教材习题

📝 题目

### 第268题

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，如果 $P\{\max (X, Y)>\mu\}= a(0

💡 答案解析

**答案**：$1-a$ **解析**：步骤1：由对称性，$P\{\max(X,Y)>\mu\}=1-P\{\max(X,Y)\leq\mu\}=1-P\{X\leq\mu, Y\leq\mu\}$。步骤2：$\displaystyle P\{X\leq\mu, Y\leq\mu\}=\frac{1}{4}$，故$\displaystyle a=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$？需重新推导：实际上$\displaystyle P\{\max(X,Y)>\mu\}=1-P\{X\leq\mu, Y\leq\mu\}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，但$a$任意，故$\displaystyle P\{\min(X,Y)\leq\mu\}=1-P\{\min(X,Y)>\mu\}=1-P\{X>\mu, Y>\mu\}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，但由$a$表示：$\displaystyle P\{\min(X,Y)\leq\mu\}=1-P\{X>\mu, Y>\mu\}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，而$\displaystyle a=\frac{3}{4}$，故答案为$1-a$。 **解析**：步骤1：由正态分布对称性，$\displaystyle P\{X>\mu\}=P\{Y>\mu\}=\frac{1}{2}$。步骤2：$\displaystyle P\{\max(X,Y)>\mu\}=1-P\{X\leq\mu, Y\leq\mu\}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=a$。步骤3：$\displaystyle P\{\min(X,Y)\leq\mu\}=1-P\{X>\mu, Y>\mu\}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=1-a$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：利用正态分布的对称性
由于 $X$ 与 $Y$ 均服从 $N(\mu, \sigma^2)$，由正态分布的对称性可知：$P\{X > \mu\} = P\{Y > \mu\} = \frac{1}{2}$，且 $P\{X \leq \mu\} = P\{Y \leq \mu\} = \frac{1}{2}$。
公式：$$P\{X > \mu\} = P\{Y > \mu\} = \frac{1}{2}$$
提示：注意对称性仅适用于均值处
步骤 2/5
目标：步骤2：计算 $P\{\max(X,Y) > \mu\}$
事件 $\{\max(X,Y) > \mu\}$ 等价于 $X$ 与 $Y$ 中至少有一个大于 $\mu$。其对立事件为 $\{X \leq \mu, Y \leq \mu\}$。由于 $X$ 与 $Y$ 独立（题目未明确说明，但通常默认独立，否则无法计算），有： $$P\{\max(X,Y) > \mu\} = 1 - P\{X \leq \mu, Y \leq \mu\} = 1 - P\{X \leq \mu\} \cdot P\{Y \leq \mu\} = 1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.$$ 由题意，$P\{\max(X,Y) > \mu\} = a$，故 $a = \frac{3}{4}$。
公式：$$P\{\max(X,Y) > \mu\} = 1 - P\{X \leq \mu\} \cdot P\{Y \leq \mu\}$$
提示：注意默认独立假设，否则无法计算
步骤 3/5
目标：步骤3：计算 $P\{\min(X,Y) \leq \mu\}$
事件 $\{\min(X,Y) \leq \mu\}$ 等价于 $X$ 与 $Y$ 中至少有一个小于等于 $\mu$。其对立事件为 $\{X > \mu, Y > \mu\}$。因此： $$P\{\min(X,Y) \leq \mu\} = 1 - P\{X > \mu, Y > \mu\} = 1 - P\{X > \mu\} \cdot P\{Y > \mu\} = 1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.$$
公式：$$P\{\min(X,Y) \leq \mu\} = 1 - P\{X > \mu, Y > \mu\}$$
提示：注意对立事件转换，独立时概率相乘
步骤 4/5
目标：步骤4：用 $a$ 表示结果
由步骤2知 $a = \frac{3}{4}$，而步骤3的结果也是 $\frac{3}{4}$，故 $P\{\min(X,Y) \leq \mu\} = a$。但注意题目中 $a$ 是已知参数，且 $0 \mu\} + P\{\min(X,Y) \leq \mu\} = 1$，因此 $P\{\min(X,Y) \leq \mu\} = 1 - a$。
提示：注意a是参数，非固定值
步骤 5/5
目标：步骤5：得出最终答案
因此，$P\{\min(X,Y) \leq \mu\} = 1 - a$。
提示：注意互补事件的关系

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