kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第280题
📝 题目
### 第280题
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu$ 为已知，$\sigma^{2}$ 未知，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, Q^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ，对假设 $H_{0}: \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}$ ，采用 $\chi^{2}$ 检测，统计量为 $\_\_\_\_$。
## 选择题
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \chi^2=\frac{Q^2}{\sigma_0^2}$ **解析**：步骤1：$\mu$已知，$\sigma^2$未知，检验$H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$。步骤2：统计量用$\displaystyle \chi^2=\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}=\frac{Q^2}{\sigma_0^2}$，服从$\chi^2(n)$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定检验类型和已知条件
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知。要检验假设 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$，这是关于方差的双侧检验问题。由于 $\mu$ 已知，应使用 $\chi^2$ 检验。
提示：注意μ已知时用χ²检验
步骤 2/4
目标：构造合适的统计量
在 $\mu$ 已知的情况下，样本与 $\mu$ 的偏差平方和 $Q^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$ 是 $\sigma^2$ 的充分统计量。根据抽样分布理论，$\frac{Q^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$。
公式：$$\frac{Q^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$$
提示：注意μ已知，自由度是n
步骤 3/4
目标：在原假设下标准化统计量
当 $H_0$ 成立时，$\sigma^2 = \sigma_0^2$，代入上述分布得：$\frac{Q^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n)$。因此，检验统计量取为 $\chi^2 = \frac{Q^2}{\sigma_0^2}$。
公式：$$\frac{Q^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n)$$
提示：注意Q^2是平方和，不是Q的平方
步骤 4/4
目标：给出最终统计量表达式
统计量为 $\displaystyle \chi^2 = \frac{Q^2}{\sigma_0^2} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma_0^2}$，服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布。
公式：$$\chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n)$$
提示：注意μ已知时自由度为n
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