kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第282题
📝 题目
### 第282题
袋中装有 $2 n-1$ 个白球， $2 n$ 个黑球，一次取出 $n$ 个球，发现都是同一种颜色，则这种颜色是黑色的概率为 （A）$\displaystyle \frac{n}{4 n-1}$ ． （B）$\displaystyle \frac{n}{3 n-1}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．
建衩答题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：设事件A为“取出的n个球全是同一种颜色”，事件B为“取出的球全是黑色”。 步骤2：总球数为$4n-1$，取n个球的总取法数为$\mathrm{C}_{4n-1}^{n}$。 步骤3：全为白球的取法数为$\mathrm{C}_{2n-1}^{n}$，全为黑球的取法数为$\mathrm{C}_{2n}^{n}$。 步骤4：$\displaystyle P(A)=\frac{\mathrm{C}_{2n-1}^{n}+\mathrm{C}_{2n}^{n}}{\mathrm{C}_{4n-1}^{n}}$，$\displaystyle P(B)=\frac{\mathrm{C}_{2n}^{n}}{\mathrm{C}_{4n-1}^{n}}$。 步骤5：所求概率$\displaystyle P(B|A)=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{\mathrm{C}_{2n}^{n}}{\mathrm{C}_{2n-1}^{n}+\mathrm{C}_{2n}^{n}}$。 步骤6：计算$\displaystyle \mathrm{C}_{2n}^{n}=\frac{2n}{n}\mathrm{C}_{2n-1}^{n-1}=2\mathrm{C}_{2n-1}^{n-1}$，$\mathrm{C}_{2n-1}^{n}=\mathrm{C}_{2n-1}^{n-1}$，代入得$\displaystyle P(B|A)=\frac{2\mathrm{C}_{2n-1}^{n-1}}{\mathrm{C}_{2n-1}^{n-1}+2\mathrm{C}_{2n-1}^{n-1}}=\frac{2}{3}$。 **难度**：★★★☆☆