kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第283题
📝 题目
### 第283题
连续抛掷一枚硬币，在第 $n$ 次抛掷时，出现第 $k$ 次 $(k \leqslant n)$ 正面向上的概率为 （A） $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ． （B） $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ． （C） $\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：第n次抛掷时出现第k次正面，意味着前n-1次抛掷中恰好出现k-1次正面，且第n次为正面。 步骤2：前n-1次中k-1次正面的概率为$\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$。 步骤3：第n次为正面的概率为$\displaystyle \frac{1}{2}$。 步骤4：由独立性，所求概率为$\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{2}=\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析事件条件
第 $n$ 次抛掷时出现第 $k$ 次正面，意味着前 $n-1$ 次抛掷中恰好出现 $k-1$ 次正面，且第 $n$ 次抛掷结果为正面。
公式：$$P = C_{n-1}^{k-1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{2} = C_{n-1}^{k-1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$$
提示：注意事件顺序：前n-1次中k-1次正面，第n次正面
步骤 2/5
目标：计算前n-1次概率
前 $n-1$ 次抛掷中，恰好出现 $k-1$ 次正面的概率为二项分布：$\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{(n-1)-(k-1)} = \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$。
公式：$$\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$
提示：注意前n-1次恰好有k-1次正面
步骤 3/5
目标：计算第n次概率
第 $n$ 次抛掷为正面的概率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$。
提示：注意区分第n次概率与总概率
步骤 4/5
目标：利用独立性求总概率
由于各次抛掷相互独立，所求概率为前 $n-1$ 次概率与第 $n$ 次概率的乘积：$\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{2} = \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$。
公式：$$\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{2} = \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$$
提示：注意前n-1次中恰好有k-1次正面
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，正确选项为 (D) $\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$。
公式：$$P = \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$$
提示：注意第k次正面出现在第n次，最后一次必为正面。
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