kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第284题
📝 题目
### 第284题
盒子中有 $A$ 和 $B$ 两类电子产品各一半，$A$ 类产品的寿命服从指数分布 $E(1), B$ 类产品的寿命服从指数分布 $E(2)$ 。随机地从盒子中取一个电子产品，以 $X$ 表示所取产品的寿命，则 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 为 （A）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ （B）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x}+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ （D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-x}+2 \mathrm{e}^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：A类产品寿命服从$E(1)$，密度为$f_A(x)=\mathrm{e}^{-x},x>0$；B类产品寿命服从$E(2)$，密度为$f_B(x)=2\mathrm{e}^{-2x},x>0$。 步骤2：取到A类或B类产品的概率均为$\displaystyle \frac{1}{2}$。 步骤3：由全概率公式，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}f_A(x)+\frac{1}{2}f_B(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+\frac{1}{2}\cdot2\mathrm{e}^{-2x}=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-2x},x>0$。 **难度**：★★☆☆☆