kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第286题
📝 题目
### 第286题
已知随机变量 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 具有相同的分布函数 $F(x)$ ，设 $X=X_{1}+X_{2}$ 的分布函数为 $G(x)$ ，则有 （A）$G(2 x)=2 F(x)$ ． （B）$G(2 x)=F(x) \cdot F(x)$ ． （C）$G(2 x) \leqslant 2 F(x)$ ． （D）$G(2 x) \geqslant 2 F(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$G(2x)=P\{X_1+X_2\leq 2x\}$。 步骤2：由$X_1,X_2$同分布，$P\{X_1+X_2\leq 2x\}\leq P\{X_1\leq x\}+P\{X_2\leq x\}=2F(x)$（因为事件$\{X_1+X_2\leq 2x\}$包含于$\{X_1\leq x\}\cup\{X_2\leq x\}$）。 步骤3：故$G(2x)\leq 2F(x)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：写出分布函数定义
由分布函数定义，$G(2x) = P\{X_1 + X_2 \leq 2x\}$。
公式：$$G(2x) = P\{X_1 + X_2 \leq 2x\}$$
提示：注意分布函数定义中的不等式方向
步骤 2/5
目标：步骤2：利用事件包含关系进行概率放缩
注意到事件 $\{X_1 + X_2 \leq 2x\}$ 蕴含于事件 $\{X_1 \leq x\} \cup \{X_2 \leq x\}$，因为若 $X_1 > x$ 且 $X_2 > x$，则 $X_1 + X_2 > 2x$。因此，$P\{X_1 + X_2 \leq 2x\} \leq P\{X_1 \leq x\} + P\{X_2 \leq x\}$。
提示：注意事件包含关系的方向
步骤 3/5
目标：步骤3：代入同分布条件
由于 $X_1$ 与 $X_2$ 同分布，有 $P\{X_1 \leq x\} = P\{X_2 \leq x\} = F(x)$，故 $P\{X_1 \leq x\} + P\{X_2 \leq x\} = 2F(x)$。
提示：注意概率加法不等同于事件并的概率
步骤 4/5
目标：步骤4：得出不等式
因此，$G(2x) \leq 2F(x)$。
公式：$$G(2x) \leq 2F(x)$$
提示：注意分布函数单调非减且右连续
步骤 5/5
目标：步骤5：判断选项
选项（C）$G(2x) \leq 2F(x)$ 正确。选项（A）和（B）为等式，一般不一定成立；选项（D）为反向不等式，错误。
提示：注意分布函数单调非减且值域[0,1]
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