kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第287题
📝 题目
### 第287题
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(1, \sigma^{2}\right)$ ，其分布函数为 $F(x)$ ，则对任意实数 $x$ ，有 （A）$F(x)+F(-x)=1$ ． （B）$F(1+x)+F(1-x)=1$ ． （C）$F(x+1)+F(x-1)=1$ ． （D）$F(1-x)+F(x-1)=1$ ．
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} A \mathrm{e}^{-x}, & x>\lambda, \\ 0, & x \leqslant \lambda $\end{array}(\lambda>0) .\right.$ $$
则概率 $P\{\lambda
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$X\sim N(1,\sigma^2)$，则$\displaystyle \frac{X-1}{\sigma}\sim N(0,1)$，分布函数为$\Phi$。 步骤2：$\displaystyle F(1+x)=P\{X\leq 1+x\}=\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$，$\displaystyle F(1-x)=P\{X\leq 1-x\}=\Phi\left(-\frac{x}{\sigma}\right)=1-\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$。 步骤3：$\displaystyle F(1+x)+F(1-x)=\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)+1-\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)=1$。 **难度**：★★☆☆☆