kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第289题
📝 题目
### 第289题
设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，其分布函数为 $\Phi(x)$ ，则随机变量 $Y=\min \{X, 0\}$ 的分布函数 $F(y)$ 为 （A）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & y>0, \\ \Phi(y), & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$ （B）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & y \geqslant 0, \\ \Phi(y), & y<0 .\end{array}\right.$ （C）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}0, & y \leqslant 0, \\ \Phi(y), & y>0 .\end{array}\right.$ （D）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}0, & y<0, \\ \Phi(y), & y \geqslant 0 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$Y=\min\{X,0\}$，则$Y\leq 0$几乎必然成立。 步骤2：当$y<0$时，$F(y)=P\{Y\leq y\}=P\{X\leq y\}=\Phi(y)$。 步骤3：当$y\geq 0$时，$F(y)=P\{Y\leq y\}=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析随机变量Y的定义
由题意，$Y = \min\{X, 0\}$，其中$X \sim N(0,1)$。由于$Y$取$X$和$0$中的较小者，因此$Y$的值总是小于等于0，即$Y \leq 0$几乎必然成立。
提示：注意Y取值非正，分布函数分段处理
步骤 2/5
目标：分情况讨论分布函数
分布函数$F(y) = P\{Y \leq y\}$。需要根据$y$的不同取值范围分别计算。
公式：$$F(y) = P\{Y \leq y\}$$
提示：注意Y=min{X,0}的取值非正
步骤 3/5
目标：当$y < 0$时
当$y < 0$时，事件$\{Y \leq y\}$等价于$\{X \leq y\}$，因为此时$Y = X$（因为$X < 0$时$Y = X$，而$X \geq 0$时$Y = 0$，但$y < 0$时$0 > y$，所以$\{Y \leq y\}$只包含$X \leq y$的部分）。因此，$F(y) = P\{X \leq y\} = \Phi(y)$。
提示：注意y<0时Y=X，分布函数直接对应Φ(y)
步骤 4/5
目标：当$y \geq 0$时
当$y \geq 0$时，由于$Y \leq 0$恒成立，而$y \geq 0$，所以事件$\{Y \leq y\}$必然发生，即$F(y) = P\{Y \leq y\} = 1$。
提示：注意Y≤0恒成立，y≥0时事件必然发生
步骤 5/5
目标：综合写出分布函数并选择答案
综上，$F(y) = \begin{cases} 1, & y \geq 0, \\ \Phi(y), & y < 0. \end{cases}$ 对照选项，该形式对应选项（B）。
公式：$$F(y) = \begin{cases} 1, & y \geq 0, \\ \Phi(y), & y < 0. \end{cases}$$
提示：注意min函数定义域分段
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