kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第290题
📝 题目
### 第290题
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数
$$ F(x)=\left\{\begin{array}{cc} A+B \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 $\end{array} \quad(\lambda>0),\right.$ $$
则 $P\{-1 \leqslant X<1\}=$ （A） $\mathrm{e}^{\lambda}-\mathrm{e}^{-\lambda}$ ． （B） $1-\mathrm{e}^{-\lambda}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{-\lambda}\right)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{\lambda}\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$F(+\infty)=1$得$A=1$；由$F(0)=0$得$A+B=0$，故$B=-1$。 步骤2：$F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x},x>0$。 步骤3：$P\{-1\leq X<1\}=F(1)-F(-1)=F(1)-0=1-\mathrm{e}^{-\lambda}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用分布函数性质求参数A
由分布函数的性质 $F(+\infty)=1$，代入 $x\to+\infty$ 时 $\mathrm{e}^{-\lambda x}\to 0$，得 $A=1$。
步骤 2/4
目标：利用边界条件求参数B
由 $F(0)=0$，且 $x>0$ 时表达式在 $x=0$ 处连续，代入得 $A+B\mathrm{e}^{0}=1+B=0$，解得 $B=-1$。
公式：$$F(0)=0$$
提示：注意分布函数右连续，x=0处需单独验证
步骤 3/4
目标：写出完整分布函数
因此分布函数为 $F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x},\ x>0$；当 $x\leq 0$ 时 $F(x)=0$。
公式：$$F(x)=\begin{cases} 0, & x\leq 0 \\ 1-e^{-\lambda x}, & x>0 \end{cases}$$
提示：注意分布函数右连续，且x≤0时F(x)=0
步骤 4/4
目标：计算概率
所求概率 $P\{-1\leq X<1\}=F(1)-F(-1)$，由于 $F(-1)=0$，故 $P=1-\mathrm{e}^{-\lambda}$。
公式：$$P\{-1\leq X<1\}=F(1)-F(-1)$$
提示：注意分布函数在负半轴为0
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