kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第294题
📝 题目
### 第294题
设随机事件 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x), Y=-2 X-1$ ，则 $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)=$ （A）$\displaystyle f_{X}\left(-\frac{y+1}{2}\right)$ ． （B）$\displaystyle f_{X}\left(\frac{y-1}{2}\right)$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2} f_{X}\left(-\frac{y+1}{2}\right)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2} f_{X}\left(\frac{y-1}{2}\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$Y=-2X-1$，则$\displaystyle x=-\frac{y+1}{2}$，$\displaystyle |J|=\left|\frac{dx}{dy}\right|=\frac{1}{2}$。 步骤2：由变换公式，$\displaystyle f_Y(y)=f_X\left(-\frac{y+1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定变换关系
已知 $Y = -2X - 1$，解出 $X$ 关于 $Y$ 的表达式：$X = -\frac{Y+1}{2}$。
公式：$$X = -\frac{Y+1}{2}$$
提示：注意反解时符号变化
步骤 2/5
目标：计算雅可比行列式
由于变换是线性的，雅可比行列式的绝对值为 $\left| \frac{dx}{dy} \right| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$。
公式：$$\left| \frac{dx}{dy} \right| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$$
提示：注意雅可比行列式取绝对值
步骤 3/5
目标：应用概率密度变换公式
根据随机变量函数的概率密度公式：$f_Y(y) = f_X\left( -\frac{y+1}{2} \right) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|$。
公式：$$f_Y(y) = f_X\left( -\frac{y+1}{2} \right) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|$$
提示：注意绝对值符号和反函数表达式
步骤 4/5
目标：代入雅可比行列式
将 $\left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2}$ 代入上式，得 $f_Y(y) = \frac{1}{2} f_X\left( -\frac{y+1}{2} \right)$。
公式：$$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|$$
提示：注意绝对值符号和反函数求导
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$Y$ 的概率密度为 $\displaystyle \frac{1}{2} f_X\left( -\frac{y+1}{2} \right)$，对应选项 (C)。
公式：$$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|$$
提示：注意绝对值处理线性变换的导数
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