kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第295题
📝 题目
### 第295题
现有 10 张奖券，其中 8 张 2 元， 2 张 5 元，今从中一次取三张，则得奖金 $X$ 的数学期望 $E X$ 为 （A） 6 ． （B） 7.8 ． （C） 8.4 ． （D） 9 ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：设$X$为奖金总额，可能取值为6,9,12。 步骤2：$\displaystyle P\{X=6\}=\frac{\mathrm{C}_8^3}{\mathrm{C}_{10}^3}=\frac{56}{120}$，$\displaystyle P\{X=9\}=\frac{\mathrm{C}_8^2\mathrm{C}_2^1}{\mathrm{C}_{10}^3}=\frac{56}{120}$，$\displaystyle P\{X=12\}=\frac{\mathrm{C}_8^1\mathrm{C}_2^2}{\mathrm{C}_{10}^3}=\frac{8}{120}$。 步骤3：$\displaystyle EX=6\times\frac{56}{120}+9\times\frac{56}{120}+12\times\frac{8}{120}=\frac{336+504+96}{120}=\frac{936}{120}=7.8$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定随机变量X的可能取值
设$X$为奖金总额，由于一次取三张奖券，每张奖券面值为2元或5元，因此$X$的可能取值为$6$（三张2元）、$9$（两张2元和一张5元）、$12$（一张2元和两张5元）。
提示：注意奖券面值组合，不要遗漏可能取值
步骤 2/4
目标：计算各取值的概率
总取法数为$\mathrm{C}_{10}^3 = 120$。
- $P\{X=6\} = \frac{\mathrm{C}_8^3}{\mathrm{C}_{10}^3} = \frac{56}{120}$
- $P\{X=9\} = \frac{\mathrm{C}_8^2 \mathrm{C}_2^1}{\mathrm{C}_{10}^3} = \frac{56}{120}$
- $P\{X=12\} = \frac{\mathrm{C}_8^1 \mathrm{C}_2^2}{\mathrm{C}_{10}^3} = \frac{8}{120}$
公式：$$P(X=k) = \frac{\text{组合数}}{\text{总组合数}}$$
提示：注意区分2元和5元奖券的个数
步骤 3/4
目标：计算数学期望
根据数学期望公式：
$EX = 6 \times \frac{56}{120} + 9 \times \frac{56}{120} + 12 \times \frac{8}{120} = \frac{336 + 504 + 96}{120} = \frac{936}{120} = 7.8$
公式：$$E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$$
提示：注意组合数计算及概率求和
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，奖金$X$的数学期望$EX = 7.8$，对应选项B。
公式：$$E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i)$$
提示：注意区分组合数计算和期望定义
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