kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第296题
📝 题目
### 第296题
设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ．已知 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=1$ ，则 $P\{X=0, Y=1\}$ 的值必为 （A） 0 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\rho=1$表明$X$与$Y$几乎必然线性正相关，即$Y=X$几乎必然成立。 步骤2：若$Y=X$，则$P\{X=0,Y=1\}=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析相关系数ρ=1的含义
由于$X$和$Y$的相关系数$\rho=1$，表明$X$与$Y$完全正相关。对于二项分布随机变量，这意味着$Y$与$X$几乎必然存在线性关系$Y = aX + b$，且$a>0$。考虑到$X$和$Y$均服从$B(1, \frac{1}{2})$，即取值仅为0或1，且$E[X]=E[Y]=\frac{1}{2}$，$Var(X)=Var(Y)=\frac{1}{4}$。由相关系数公式$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = 1$，可得$Cov(X,Y) = \frac{1}{4}$。
公式：$$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = 1$$
提示：注意完全正相关时线性关系系数a>0
步骤 2/4
目标：推导完全正相关下的关系式
完全正相关时，存在常数$a>0$和$b$使得$Y = aX + b$几乎必然成立。由于$X$和$Y$均取0或1，代入$X=0$得$Y=b$，代入$X=1$得$Y=a+b$。因为$Y$只能为0或1，且$b$和$a+b$必须属于$\{0,1\}$，同时$E[Y]=aE[X]+b$，即$\frac{1}{2}=a\cdot\frac{1}{2}+b$。结合$b$和$a+b$的取值，解得$a=1$，$b=0$，因此$Y=X$几乎必然成立。
公式：$$Y = aX + b$$
提示：注意离散变量取值约束
步骤 3/4
目标：计算概率P{X=0, Y=1}
由$Y=X$几乎必然成立，可知事件$\{X=0, Y=1\}$等价于$\{X=0, X=1\}$，这是不可能事件。因此$P\{X=0, Y=1\}=0$。
提示：注意Y=X几乎必然成立的条件
步骤 4/4
目标：验证选项
选项（A）为0，与计算结果一致；其他选项（B）$\frac{1}{4}$、（C）$\frac{1}{2}$、（D）1均不正确。
提示：注意区分二项分布参数
📷 拍照上传批改
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