kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第297题
📝 题目
### 第297题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的方差均为正，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=1$ 的充要条件为 （A）$Y=X+b$（其中 $b$ 为任意常数）． （B）$D X=D Y=\operatorname{Cov}(X, Y)$ ． （C）$D X=D Y=\sqrt{\operatorname{Cov}(X, Y)}$ ． （D）$D(X+Y)=(\sqrt{D X}+\sqrt{D Y})^{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\rho=1$等价于存在常数$a>0,b$使$Y=aX+b$几乎必然成立，且$\mathrm{Cov}(X,Y)=\sqrt{DX}\sqrt{DY}$。 步骤2：$D(X+Y)=DX+DY+2\mathrm{Cov}(X,Y)=DX+DY+2\sqrt{DX}\sqrt{DY}=(\sqrt{DX}+\sqrt{DY})^2$。 步骤3：反之，若$D(X+Y)=(\sqrt{DX}+\sqrt{DY})^2$，则$\mathrm{Cov}(X,Y)=\sqrt{DX}\sqrt{DY}$，故$\rho=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解相关系数为1的充要条件
相关系数 $\rho=1$ 的充要条件是存在常数 $a>0$ 和 $b$，使得 $Y = aX + b$ 几乎必然成立，且协方差满足 $\operatorname{Cov}(X,Y) = \sqrt{DX} \sqrt{DY}$。
公式：$$\rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} = 1 \iff Y = aX + b, a>0$$
提示：注意a必须大于0，且关系几乎必然成立
步骤 2/5
目标：推导选项D的表达式
计算 $D(X+Y)$：$D(X+Y) = DX + DY + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$。若 $\rho=1$，则 $\operatorname{Cov}(X,Y) = \sqrt{DX} \sqrt{DY}$，代入得 $D(X+Y) = DX + DY + 2\sqrt{DX} \sqrt{DY} = (\sqrt{DX} + \sqrt{DY})^2$。
公式：$$D(X+Y) = DX + DY + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$$
提示：注意相关系数为1时协方差为正
步骤 3/5
目标：验证充分性
反之，若 $D(X+Y) = (\sqrt{DX} + \sqrt{DY})^2$，则展开得 $DX + DY + 2\operatorname{Cov}(X,Y) = DX + DY + 2\sqrt{DX} \sqrt{DY}$，化简得 $\operatorname{Cov}(X,Y) = \sqrt{DX} \sqrt{DY}$，因此相关系数 $\rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX} \sqrt{DY}} = 1$。
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Y) = \sqrt{DX} \sqrt{DY}$$
提示：注意协方差与方差的关系
步骤 4/5
目标：分析其他选项
选项A：$Y = X + b$ 仅当 $a=1$ 时成立，但 $\rho=1$ 要求 $a>0$ 任意，故A不充分。选项B和C：$DX = DY = \operatorname{Cov}(X,Y)$ 或 $DX = DY = \sqrt{\operatorname{Cov}(X,Y)}$ 不一定推出 $\rho=1$，例如当 $DX=DY=1$ 时，$\operatorname{Cov}(X,Y)=1$ 才满足，但条件本身不保证协方差等于方差乘积的平方根。
提示：注意相关系数为1的充要条件是线性关系且系数为正
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=1$ 的充要条件是 $D(X+Y) = (\sqrt{DX} + \sqrt{DY})^2$，对应选项D。
公式：$$\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$$
提示：注意相关系数为1时方差关系
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