kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第298题
📝 题目
### 第298题
已知 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，$E X:=E Y=\mu, D X=D Y=\sigma^{2}, X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho \neq 0$ ，则 $X$ 与 $Y$ （A）独立且有相同的分布． （B）独立且有不同的分布． （C）不独立且有相同的分布． （D）不独立且有不同的分布．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由二维正态分布性质，若相关系数$\rho \neq 0$，则$X$与$Y$不独立。 步骤2：已知$EX=EY=\mu$，$DX=DY=\sigma^2$，故$X$与$Y$有相同的分布。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断独立性
由于 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且相关系数 $\rho \neq 0$，根据二维正态分布的性质，当 $\rho \neq 0$ 时，$X$ 与 $Y$ 不独立。
提示：二维正态分布中，ρ=0才独立
步骤 2/4
目标：判断分布是否相同
已知 $E X = E Y = \mu$，$D X = D Y = \sigma^2$，且 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布（由二维正态分布的边缘分布性质），因此 $X$ 与 $Y$ 有相同的分布，即 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$。
提示：注意边缘分布与联合分布的关系
步骤 3/4
目标：综合结论
由以上两步可知，$X$ 与 $Y$ 不独立且有相同的分布。
提示：相关系数非零时，正态分布不独立
步骤 4/4
目标：选择答案
根据选项，对应的是（C）不独立且有相同的分布。
提示：注意相关系数非零时，正态分布不独立但边缘分布相同。
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