kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第299题
📝 题目
### 第299题
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$X$的分布函数$F(x)=\int_0^x 2t dt = x^2$，$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求分布函数 F(x)
由概率密度函数 $f(x)=2x$（$0
公式：$$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$$
提示：注意分段积分区间
步骤 2/5
目标：表示随机变量 Y
由 $Y=[F(X)]^2$，代入 $F(X)=X^2$，得 $Y=(X^2)^2 = X^4$。
公式：$$Y = (X^2)^2 = X^4$$
提示：注意复合函数代入顺序
步骤 3/5
目标：计算数学期望 EY
利用期望公式 $EY = \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(x)\,dx$，由于 $Y=X^4$，且 $f(x)=2x$ 仅在 $(0,1)$ 非零，故 $EY = \int_0^1 x^4 \cdot 2x\,dx = 2\int_0^1 x^5\,dx$。
公式：$$EY = \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(x)\,dx$$
提示：注意积分区间和变量替换
步骤 4/5
目标：积分求解
计算积分：$2\int_0^1 x^5\,dx = 2\cdot\left[\frac{x^6}{6}\right]_0^1 = 2\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$。
公式：$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
提示：注意积分上下限代入计算
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，$EY = \frac{1}{3}$，对应选项 (B)。
提示：注意积分区间和概率密度函数
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