kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第300题
📝 题目
### 第300题
已知随机变量 $X_{n}(n=1,2, \cdots)$ 相互独立且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^{n} X_{i} \leqslant \sqrt{n}\right\}$ 等于（结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示） （A）$\Phi(0)$ ． （B）$\Phi(1)$ ． （C）$\Phi(\sqrt{3})$ ． （D）$\Phi(2)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$X_i \sim U(-1,1)$，$EX_i=0$，$\displaystyle DX_i=\frac{1}{3}$。 步骤2：由中心极限定理，$\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \xrightarrow{d} N(0,1)$，故$\lim_{n\to\infty} P\{\sum_{i=1}^n X_i \le \sqrt{n}\} = \Phi(\sqrt{3})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：确定随机变量的期望和方差
由题意，$X_i \sim U(-1,1)$，均匀分布的期望和方差公式为：$E(X_i) = \frac{a+b}{2} = \frac{-1+1}{2} = 0$，$D(X_i) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(1-(-1))^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。
公式：$$E(X)=\frac{a+b}{2},\quad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$$
提示：注意均匀分布参数a=-1, b=1
步骤 2/5
目标：步骤2：应用独立同分布中心极限定理
由于$X_1, X_2, \ldots$独立同分布，且$E(X_i)=0$，$D(X_i)=\frac{1}{3}$，则根据独立同分布中心极限定理，有：
$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n \cdot E(X_i)}{\sqrt{n \cdot D(X_i)}} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \xrightarrow{d} N(0,1)$$
公式：$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \xrightarrow{d} N(0,1)$$
提示：注意方差计算和标准化形式
步骤 3/5
目标：步骤3：将所求概率转化为标准正态分布形式
所求极限为 $\lim_{n \to \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right\}$。将不等式两边同时除以 $\sqrt{n/3}$，得：
$$P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \leq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n/3}}\right\} = P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \leq \sqrt{3}\right\}$$
公式：$$\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \leq \sqrt{3}\right\}$$
提示：注意方差为1/3，标准化时除以标准差
步骤 4/5
目标：步骤4：取极限并用标准正态分布函数表示
由中心极限定理，当$n \to \infty$时，$\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}}$的分布函数收敛于标准正态分布函数$\Phi(x)$，因此：
$$\lim_{n \to \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right\} = \Phi(\sqrt{3})$$
公式：$$\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \leq x\right\} = \Phi(x)$$
提示：注意标准化时除以标准差√(n/3)
步骤 5/5
目标：步骤5：得出答案
根据选项，$\Phi(\sqrt{3})$对应选项C，故答案为C。
提示：注意选项与Φ(√3)对应
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。