kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第302题

由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布于 $N(0, \sigma^2)$，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 服从正态分布 $N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。

由正态总体样本方差的性质，$\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$，且 $\bar{X}$ 与 $S_1^2$ 相互独立。

根据 $t$ 分布的定义：若 $U \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(k)$ 且 $U$ 与 $V$ 独立，则 $t = \frac{U}{\sqrt{V/k}} \sim t(k)$。这里取 $U = \frac{\bar{X}}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，$V = \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，且 $U$ 与 $V$ 独立，于是 $t = \frac{\bar{X}/(\sigma/\sqrt{n})}{\sqrt{[(n-1)S_1^2/\sigma^2]/(n-1)}} = \frac{\bar{X}\sqrt{n}}{S_1} \sim t(n-1)$。

选项 (A) $t = \frac{\bar{X}}{S_1/\sqrt{n-1}} = \frac{\bar{X}\sqrt{n-1}}{S_1}$，而标准形式为 $\frac{\bar{X}\sqrt{n}}{S_1}$，两者相差因子 $\sqrt{\frac{n-1}{n}}$，但 $\frac{\bar{X}\sqrt{n-1}}{S_1} = \frac{\bar{X}\sqrt{n}}{S_1} \cdot \sqrt{\frac{n-1}{n}}$，由于 $\frac{\bar{X}\sqrt{n}}{S_1} \sim t(n-1)$，乘以常数 $\sqrt{\frac{n-1}{n}}$ 后仍服从 $t(n-1)$（因为 $t$ 分布乘以常数后仍是 $t$ 分布，自由度不变）。实际上，$\frac{\bar{X}\sqrt{n-1}}{S_1} = \frac{\bar{X}}{S_1/\sqrt{n-1}}$ 正是 $t(n-1)$ 分布的标准形式，因为 $\frac{\bar{X}}{S_1/\sqrt{n-1}} = \frac{\bar{X}\sqrt{n-1}}{S_1}$，而 $\frac{\bar{X}\sqrt{n}}{S_1} \sim t(n-1)$ 表明 $\frac{\bar{X}\sqrt{n-1}}{S_1}$ 也服从 $t(n-1)$。

选项 (B) 中 $S_2^2 = \frac{1}{n}\sum (X_i-\bar{X})^2$，则 $\frac{nS_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，但 $t = \frac{\bar{X}}{S_2/\sqrt{n-1}} = \frac{\bar{X}\sqrt{n-1}}{S_2}$，由于 $S_2 = \sqrt{\frac{n-1}{n}}S_1$，代入得 $\frac{\bar{X}\sqrt{n-1}}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}S_1} = \frac{\bar{X}\sqrt{n}}{S_1}$，这服从 $t(n-1)$，但选项 (B) 的表达式与标准形式不同，实际上 $\frac{\bar{X}}{S_2/\sqrt{n-1}} = \frac{\bar{X}\sqrt{n-1}}{S_2}$，而 $S_2$ 与 $S_1$ 的关系导致其分布为 $t(n-1)$，但题目要求“可以作出服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布统计量”，选项 (B) 的统计量也服从 $t(n-1)$，但通常教材中 $t$ 统计量定义为 $\frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}}$，其中 $S$ 为样本标准差。选项 (C) 和 (D) 中 $S_3^2$ 和 $S_4^2$ 涉及 $\sum X_i^2$，与 $\bar{X}$ 不独立，且 $\frac{\sum X_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$，但 $\bar{X}$ 与 $\sum X_i^2$ 不独立，因此不能构造 $t$ 分布。

综合以上分析，只有选项 (A) 中的统计量 $t = \frac{\bar{X}}{S_1/\sqrt{n-1}}$ 是标准的 $t(n-1)$ 分布形式，因此正确答案为 (A)。