kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第303题
📝 题目
### 第303题
设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{1}, \cdots, X_{n}$ 与 $Y_{1}, \cdots, Y_{n}$ 分别来自总体 $X$ 和 $Y$ 容量都为 $n$ 的两个相互独立的简单随机样本，样本均值和方差分别为 $\bar{X}, S_{X}^{2} ; \bar{Y}, S_{Y}^{2}$ ，则 （A） $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ． （B）$S_{X}^{2}+S_{Y}^{2} \sim \chi^{2}(2 n-2)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}}} \sim t(2 n-2)$ ． （D）$\displaystyle \frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}} \sim F(n-1, n-1)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$S_X^2 \sim \chi^2(n-1)$，$S_Y^2 \sim \chi^2(n-1)$，且独立。 步骤2：$\displaystyle \frac{S_X^2/(n-1)}{S_Y^2/(n-1)} \sim F(n-1,n-1)$，即$\displaystyle \frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim F(n-1,n-1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析样本方差的分布
由于 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自正态总体 $N(0,\sigma^2)$ 的简单随机样本，样本方差 $S_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$，根据抽样分布定理，有 $\frac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。同理，$\frac{(n-1)S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。且两个样本相互独立，因此 $S_X^2$ 与 $S_Y^2$ 独立。
公式：$$\frac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$
提示：注意样本方差定义中的分母是n-1
步骤 2/4
目标：构造F统计量
由F分布的定义：若 $U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$ 且独立，则 $\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$。这里取 $U = \frac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2}$，$V = \frac{(n-1)S_Y^2}{\sigma^2}$，则 $U,V$ 独立且均服从 $\chi^2(n-1)$。于是 $\frac{U/(n-1)}{V/(n-1)} = \frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim F(n-1,n-1)$。
公式：$$\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$$
提示：注意U和V的独立性
步骤 3/4
目标：验证其他选项的错误性
（A）$\bar{X}-\bar{Y} \sim N(0, \frac{2\sigma^2}{n})$，方差为 $\frac{2\sigma^2}{n}$ 而非 $\sigma^2$，故错误。
（B）$S_X^2+S_Y^2$ 的分布不是卡方分布，因为 $\frac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1)S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(2n-2)$，但 $S_X^2+S_Y^2$ 本身不是卡方分布，缺少系数 $\frac{n-1}{\sigma^2}$，故错误。
（C）$\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}}$ 的分母不是 $t$ 分布所需的标准差形式，正确的 $t$ 统计量应为 $\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_X^2+S_Y^2}{n}}}$ 或类似形式，且自由度为 $2n-2$，但此处分母缺少 $\frac{1}{n}$，故错误。
提示：注意统计量的标准化形式
步骤 4/4
目标：得出结论
由步骤2可知，选项（D）正确。
提示：注意区分统计量的分布类型
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