kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第304题
📝 题目
### 第304题
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^{2} . X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，则可以作出 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量为 （A）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (DX_i + (EX_i)^2) = \sigma^2$。 步骤2：故$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2$是$\sigma^2$的无偏估计。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析无偏估计的定义
无偏估计要求估计量的期望等于待估参数，即 $E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2$。我们需要对每个选项计算期望，判断哪个满足条件。
公式：$$E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2$$
提示：注意区分样本方差和总体方差
步骤 2/4
目标：计算选项C的期望
对于选项C：$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$。由于 $X_i$ 独立同分布，且 $E(X_i)=0$，$D(X_i)=\sigma^2$，则 $E(X_i^2) = D(X_i) + [E(X_i)]^2 = \sigma^2 + 0 = \sigma^2$。因此，$E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i^2) = \frac{1}{n} \cdot n \sigma^2 = \sigma^2$。所以选项C是 $\sigma^2$ 的无偏估计。
公式：$$E(X_i^2) = D(X_i) + [E(X_i)]^2$$
提示：注意方差与期望的关系
步骤 3/4
目标：验证其他选项不是无偏估计
对于选项A和B：样本方差 $S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ 的期望为 $\frac{n-1}{n} \sigma^2$，不是 $\sigma^2$；选项B的期望为 $\frac{n-1}{n+1} \sigma^2$，也不是 $\sigma^2$。对于选项D：$E\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i^2\right) = \frac{n}{n+1} \sigma^2 \neq \sigma^2$。因此只有选项C正确。
公式：$$E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$$
提示：注意样本方差的无偏性修正
步骤 4/4
目标：得出结论
根据无偏性，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，故正确答案为C。
公式：$$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2\right)=\sigma^2$$
提示：注意无偏估计的定义是期望等于参数
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