kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第306题
📝 题目
### 第306题
设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle \frac{X_{1}-X_{2}}{\left|X_{3}+X_{4}-2\right|}$的分布为 （A）$N(0,1)$ ． （B）$t(1)$ ． （C）$\chi^{2}(1)$ ． （D）$F(1,1)$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$X_1-X_2 \sim N(0,2\sigma^2)$，$X_3+X_4 \sim N(2,2\sigma^2)$，故$\displaystyle \frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1)$。 步骤2：$\displaystyle t=\frac{(X_1-X_2)/(\sqrt{2}\sigma)}{|(X_3+X_4-2)/(\sqrt{2}\sigma)|} = \frac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}$，分母为半正态，分子正态，整体为$t(1)$分布。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定分子分布
由于 $X_1, X_2 \sim N(1, \sigma^2)$ 且独立，则 $X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$。
公式：$$X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$$
提示：注意方差相加，不是相减
步骤 2/5
目标：确定分母分布
由于 $X_3, X_4 \sim N(1, \sigma^2)$ 且独立，则 $X_3 + X_4 \sim N(2, 2\sigma^2)$，因此 $X_3 + X_4 - 2 \sim N(0, 2\sigma^2)$。
公式：$$X_3 + X_4 \sim N(2, 2\sigma^2)$$
提示：注意均值和方差的计算
步骤 3/5
目标：标准化分母
令 $Y = \frac{X_3 + X_4 - 2}{\sqrt{2}\sigma}$，则 $Y \sim N(0, 1)$，故 $|Y|$ 服从半正态分布。
提示：注意分母标准化时需除以σ
步骤 4/5
目标：构造t统计量
考虑 $\frac{(X_1 - X_2)/(\sqrt{2}\sigma)}{|Y|} = \frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4 - 2|}$。分子 $\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1)$，分母 $|Y|$ 是标准正态的绝对值，因此该统计量服从自由度为1的t分布，即 $t(1)$。
公式：$$\frac{(X_1 - X_2)/(\sqrt{2}\sigma)}{|Y|} = \frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4 - 2|}$$
提示：注意分母是绝对值形式
步骤 5/5
目标：得出结论
统计量 $\frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4 - 2|}$ 的分布为 $t(1)$，对应选项B。
公式：$$t = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$$
提示：注意分母绝对值处理
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