📝 题目
### 第307题
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的样本，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^{2}>0$ 为未知参数，样本均值为 $\bar{X}$ ，则 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量为 （A）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ． （B）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ． （C）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ． （D）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ．
建设容题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
管题 区1或
📋 详细解题步骤
目标：写出似然函数
由于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $\mu$ 已知，样本 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布。似然函数为：
$$L(\sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(X_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2\right).$$
公式：$$L(\sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2\right)$$
提示：注意μ已知，似然函数是σ²的函数
目标：取对数似然函数
对似然函数取自然对数，得到对数似然函数：
$$\ln L(\sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - \frac{n}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2.$$
公式：$$\ln L(\sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - \frac{n}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2$$
提示：注意对数运算性质，避免符号错误
目标：对参数求导并令导数为零
将 $\ln L(\sigma^2)$ 对 $\sigma^2$ 求导：
$$\frac{\partial \ln L}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 = 0.$$
公式：$$\frac{\partial \ln L}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 = 0$$
提示：注意对σ²求导，而非σ
目标：解方程得估计量
整理方程：
$$-\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^4}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2\sigma^4}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 = \frac{n}{2\sigma^2}.$$
两边乘以 $2\sigma^4$ 得：
$$\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 = n\sigma^2.$$
解得最大似然估计量为：
$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2.$$
公式：$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2$$
提示：注意分母是n而非n-1
目标：确定正确选项
比较选项，选项D为 $\displaystyle \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2$，与所得结果一致。因此正确答案为D。
公式：$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2$$
提示：注意区分总体方差与样本方差公式