kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第308题
📝 题目
### 第308题
设 $\hat{\theta}$ 为末知参数 $\theta$ 的无偏、一致估计，且 $D \hat{\theta}>0$ ，则 $\hat{\theta}^{2}$ 是 $\theta^{2}$ 的 （A）无偏，一致估计． （B）无偏，非一致估计． （C）非无偏，一致估计． （D）非无偏，非一致估计．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$E(\hat{\theta}^2) = D\hat{\theta} + (E\hat{\theta})^2 = D\hat{\theta} + \theta^2 > \theta^2$，故有偏。 步骤2：由$\hat{\theta}$一致估计，$\hat{\theta}^2$依概率收敛于$\theta^2$，故一致。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断无偏性
计算 $E(\hat{\theta}^2)$。由方差公式 $D\hat{\theta} = E(\hat{\theta}^2) - (E\hat{\theta})^2$，且 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计，即 $E\hat{\theta} = \theta$，代入得 $E(\hat{\theta}^2) = D\hat{\theta} + \theta^2$。已知 $D\hat{\theta} > 0$，故 $E(\hat{\theta}^2) > \theta^2$，因此 $\hat{\theta}^2$ 不是 $\theta^2$ 的无偏估计。
公式：$$D\hat{\theta} = E(\hat{\theta}^2) - (E\hat{\theta})^2$$
提示：注意无偏性定义与方差公式结合
步骤 2/3
目标：判断一致性
由于 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的一致估计，即 $\hat{\theta} \xrightarrow{P} \theta$。根据连续映射定理，若 $g(x) = x^2$ 为连续函数，则 $g(\hat{\theta}) = \hat{\theta}^2 \xrightarrow{P} g(\theta) = \theta^2$，故 $\hat{\theta}^2$ 是 $\theta^2$ 的一致估计。
公式：$$\hat{\theta} \xrightarrow{P} \theta \Rightarrow g(\hat{\theta}) \xrightarrow{P} g(\theta)$$
提示：连续映射定理要求函数连续
步骤 3/3
目标：综合结论
由以上两步可知，$\hat{\theta}^2$ 非无偏但一致，对应选项 (C)。
提示：无偏性不平方传递，一致性可传递
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